Номер 1, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы к главе I - номер 1, страница 45.

Условие.

1. Назвать множество значений каждой из функций

$y = \sin x, y = \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

y = sin x

Множество значений (или область значений) функции — это совокупность всех значений, которые функция может принимать. Для тригонометрической функции $y = \sin x$ область значений определяется с помощью единичной окружности.

По определению, синус угла $x$ равен ординате (координате $y$) точки на единичной окружности, которая соответствует этому углу. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Когда точка перемещается по этой окружности, ее ордината непрерывно изменяется. Минимальное значение ординаты достигается в самой нижней точке окружности и равно -1 (при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$). Максимальное значение достигается в самой верхней точке и равно 1 (при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, функция синус принимает все действительные значения в отрезке от -1 до 1.

Ответ: $[-1, 1]$.

y = cos x

Множество значений функции $y = \cos x$ находится аналогичным образом. По определению, косинус угла $x$ равен абсциссе (координате $x$) точки на единичной окружности.

При движении точки по единичной окружности ее абсцисса также непрерывно изменяется. Минимальное значение абсциссы достигается в самой левой точке окружности и равно -1 (при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$). Максимальное значение достигается в самой правой точке и равно 1 (при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, функция косинус, так же как и синус, принимает все действительные значения в отрезке от -1 до 1.

Ответ: $[-1, 1]$.