Номер 4, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 4, страница 45.

Условие.

4. Какая функция называется периодической?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.

Число $T$ называется периодом функции. Важно отметить, что если $T$ — период, то и любое целое кратное этого числа, то есть $nT$ (где $n$ — любое целое число, $n \neq 0$), также будет являться периодом функции. Например, если $f(x+T) = f(x)$, то и $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$.

Наименьший положительный период функции, если он существует, называется ее основным (или фундаментальным) периодом. Все остальные периоды кратны основному.

Геометрический смысл: График периодической функции состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если построить график на любом отрезке, длина которого равна основному периоду $T$, то весь остальной график можно получить путем сдвига (параллельного переноса) этого фрагмента вдоль оси $Ox$ на $T, 2T, 3T$ и т.д. вправо и влево.

Примеры периодических функций:

• Функции синус и косинус, $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$. Их основной период равен $2\pi$, так как для любого $x$ выполняются равенства $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.
• Функции тангенс и котангенс, $y = \operatorname{tg}(x)$ и $y = \operatorname{ctg}(x)$. Их основной период равен $\pi$, так как $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg}(x)$ и $\operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg}(x)$.
• Функция "дробная часть числа" $y = \{x\}$. Ее основной период равен 1.
• Любая постоянная функция $y = c$. Она является периодической, но не имеет основного периода, так как ее периодом является любое действительное число, отличное от нуля.

Ответ: Периодической называется функция $y = f(x)$, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции числа $x + T$ и $x - T$ также принадлежат области определения и выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Это число $T$ называется периодом функции.