Страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Назвать множество значений каждой из функций

$y = \sin x, y = \cos x$.

y = sin x

Множество значений (или область значений) функции — это совокупность всех значений, которые функция может принимать. Для тригонометрической функции $y = \sin x$ область значений определяется с помощью единичной окружности.

По определению, синус угла $x$ равен ординате (координате $y$) точки на единичной окружности, которая соответствует этому углу. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Когда точка перемещается по этой окружности, ее ордината непрерывно изменяется. Минимальное значение ординаты достигается в самой нижней точке окружности и равно -1 (при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$). Максимальное значение достигается в самой верхней точке и равно 1 (при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, функция синус принимает все действительные значения в отрезке от -1 до 1.

Ответ: $[-1, 1]$.

y = cos x

Множество значений функции $y = \cos x$ находится аналогичным образом. По определению, косинус угла $x$ равен абсциссе (координате $x$) точки на единичной окружности.

При движении точки по единичной окружности ее абсцисса также непрерывно изменяется. Минимальное значение абсциссы достигается в самой левой точке окружности и равно -1 (при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$). Максимальное значение достигается в самой правой точке и равно 1 (при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, функция косинус, так же как и синус, принимает все действительные значения в отрезке от -1 до 1.

Ответ: $[-1, 1]$.

2. Назвать область определения каждой из функций

$y = \operatorname{tg} x, y = \operatorname{ctg} x.$

$y = \operatorname{tg} x$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение для функции имеет смысл. Функция тангенса определяется через отношение синуса и косинуса: $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Поэтому для функции $y = \operatorname{tg} x$ должно выполняться условие $\cos x \neq 0$.

Решим уравнение $\cos x = 0$. Его корнями являются значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, из множества всех действительных чисел нужно исключить эти точки. Таким образом, область определения функции $y = \operatorname{tg} x$ — это все действительные числа, за исключением чисел вида $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$y = \operatorname{ctg} x$

Функция котангенса определяется как отношение косинуса к синусу: $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Аналогично тангенсу, это выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Для функции $y = \operatorname{ctg} x$ должно выполняться условие $\sin x \neq 0$.

Решим уравнение $\sin x = 0$. Его корнями являются значения $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, область определения функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это все действительные числа, за исключением чисел вида $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3. Какая из функций $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tg x$, $y = \ctg x$ является чётной?

Чтобы определить, какая из функций является чётной, необходимо проверить для каждой из них выполнение основного свойства чётной функции. Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство:

$f(-x) = f(x)$

Также область определения чётной функции должна быть симметрична относительно точки $x=0$. Проверим каждую из предложенных функций.

Пусть $f(x) = \sin x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, симметрична. Проверим свойство чётности:

$f(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция $y = \sin x$ является нечётной.

Ответ: нечётная.

Пусть $f(x) = \cos x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, симметрична. Проверим свойство чётности:

$f(-x) = \cos(-x) = \cos x = f(x)$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция $y = \cos x$ является чётной.

Ответ: чётная.

Пусть $f(x) = \text{tg } x$. Область определения $D(f)$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля. Проверим свойство чётности:

$f(-x) = \text{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\text{tg } x = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция $y = \text{tg } x$ является нечётной.

Ответ: нечётная.

Пусть $f(x) = \text{ctg } x$. Область определения $D(f)$: $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля. Проверим свойство чётности:

$f(-x) = \text{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\text{ctg } x = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция $y = \text{ctg } x$ является нечётной.

Ответ: нечётная.

Таким образом, из всех перечисленных функций только одна является чётной — это $y = \cos x$.

4. Какая функция называется периодической?

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.

Число $T$ называется периодом функции. Важно отметить, что если $T$ — период, то и любое целое кратное этого числа, то есть $nT$ (где $n$ — любое целое число, $n \neq 0$), также будет являться периодом функции. Например, если $f(x+T) = f(x)$, то и $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$.

Наименьший положительный период функции, если он существует, называется ее основным (или фундаментальным) периодом. Все остальные периоды кратны основному.

Геометрический смысл: График периодической функции состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если построить график на любом отрезке, длина которого равна основному периоду $T$, то весь остальной график можно получить путем сдвига (параллельного переноса) этого фрагмента вдоль оси $Ox$ на $T, 2T, 3T$ и т.д. вправо и влево.

Примеры периодических функций:

• Функции синус и косинус, $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$. Их основной период равен $2\pi$, так как для любого $x$ выполняются равенства $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.
• Функции тангенс и котангенс, $y = \operatorname{tg}(x)$ и $y = \operatorname{ctg}(x)$. Их основной период равен $\pi$, так как $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg}(x)$ и $\operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg}(x)$.
• Функция "дробная часть числа" $y = \{x\}$. Ее основной период равен 1.
• Любая постоянная функция $y = c$. Она является периодической, но не имеет основного периода, так как ее периодом является любое действительное число, отличное от нуля.

Ответ: Периодической называется функция $y = f(x)$, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции числа $x + T$ и $x - T$ также принадлежат области определения и выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Это число $T$ называется периодом функции.

5. Привести пример функции, у которой наименьший положительный период равен: $2\pi$; $\pi$; $\frac{\pi}{2}$; $3\pi$.

Для нахождения примеров функций с заданным наименьшим положительным периодом $T$ будем использовать свойство периода тригонометрических функций. Наименьший положительный период функции вида $y = \sin(kx)$ (а также $y = \cos(kx)$) вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Из этой формулы мы можем выразить коэффициент $k$ для заданного периода $T$: $|k| = \frac{2\pi}{T}$. Во всех примерах для простоты будем выбирать положительное значение $k$.

2π

Требуемый наименьший положительный период $T = 2\pi$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$. Примером функции является $y = \sin(1 \cdot x) = \sin(x)$. Также подходит функция $y = \cos(x)$, так как ее наименьший положительный период также равен $2\pi$.
Ответ: $y = \sin(x)$.

π

Требуемый наименьший положительный период $T = \pi$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$. Примером функции является $y = \sin(2x)$. Другим простым примером может служить функция $y = \tan(x)$, наименьший положительный период которой по определению равен $\pi$.
Ответ: $y = \sin(2x)$.

$\frac{\pi}{2}$

Требуемый наименьший положительный период $T = \frac{\pi}{2}$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$. Примером функции является $y = \sin(4x)$. Также можно было бы использовать функцию $y = \cos(4x)$.
Ответ: $y = \sin(4x)$.

3π

Требуемый наименьший положительный период $T = 3\pi$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}$. Примером функции является $y = \sin(\frac{2}{3}x)$.
Ответ: $y = \sin(\frac{2}{3}x)$.

6. Назвать промежутки возрастания каждой из функций $y = \sin x$, $y = \cos x$.

Чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно найти ее производную и определить интервалы, на которых эта производная неотрицательна. Функция $f(x)$ считается возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$. Это условие эквивалентно тому, что производная функции $f'(x) \ge 0$ на данном промежутке.

y = sin x

1. Найдем производную функции $y = \sin x$:
$y' = (\sin x)' = \cos x$.

2. Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна. Решим неравенство:
$\cos x \ge 0$.

Известно, что косинус является положительным в первой и четвертой координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Так как функция $y = \cos x$ периодическая с периодом $2\pi$, то общее решение неравенства, а следовательно, и все промежутки возрастания функции $y = \sin x$, можно записать в виде:
$[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: промежутки возрастания функции $y = \sin x$ имеют вид $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

y = cos x

1. Найдем производную функции $y = \cos x$:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна. Решим неравенство:
$-\sin x \ge 0$,
что равносильно неравенству:
$\sin x \le 0$.

Известно, что синус является отрицательным в третьей и четвертой координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует промежутку $[\pi, 2\pi]$ или, что то же самое, $[-\pi, 0]$.

Так как функция $y = \sin x$ периодическая с периодом $2\pi$, то общее решение неравенства, а следовательно, и все промежутки возрастания функции $y = \cos x$, можно записать в виде:
$[-\pi + 2\pi n, 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: промежутки возрастания функции $y = \cos x$ имеют вид $[-\pi + 2\pi n, 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

7. При каких значениях $x$ каждая из функций

$y = \operatorname{tg}x, y = \operatorname{ctg}x$

принимает положительные значения?

Для того чтобы найти значения $x$, при которых каждая из функций $y=\text{tg } x$ и $y=\text{ctg } x$ принимает положительные значения, необходимо решить систему неравенств:

Заметим, что функции тангенса и котангенса связаны соотношением $\text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x}$. Из этого следует, что знаки этих функций совпадают для всех $x$, при которых они обе определены. Следовательно, задача сводится к решению одного неравенства, например, $\text{tg } x > 0$.

Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу: $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Это отношение положительно в двух случаях:

1. Когда и числитель, и знаменатель положительны: $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$. На тригонометрической окружности это соответствует I координатной четверти. Углы $x$ в этом случае лежат в интервале $(2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Когда и числитель, и знаменатель отрицательны: $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$. На тригонометрической окружности это соответствует III координатной четверти. Углы $x$ в этом случае лежат в интервале $(\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функции $y = \text{tg } x$ и $y = \text{ctg } x$ имеют период $\pi$. Поэтому можно объединить найденные интервалы. Интервалы, где обе функции положительны, повторяются через каждый промежуток длиной $\pi$.

Таким образом, общее решение можно записать в виде одного интервала с учетом периодичности:

$\pi n < x < \pi n + \frac{\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi n < x < \pi n + \frac{\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

8. При каких значениях $x$ каждая из функций

$y = \sin x, y = \cos x$

принимает наибольшее и наименьшее значения?

Для функции $y = \sin x$

Область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, её наибольшее значение равно 1, а наименьшее равно -1.

Наибольшее значение.
Функция принимает значение 1, когда $\sin x = 1$. Решением этого тригонометрического уравнения является серия точек: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Наибольшее значение, равное 1, функция $y = \sin x$ принимает при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение.
Функция принимает значение -1, когда $\sin x = -1$. Решением этого уравнения является серия точек: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Наименьшее значение, равное -1, функция $y = \sin x$ принимает при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Для функции $y = \cos x$

Область значений функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, её наибольшее значение равно 1, а наименьшее равно -1.

Наибольшее значение.
Функция принимает значение 1, когда $\cos x = 1$. Решением этого уравнения является серия точек: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Наибольшее значение, равное 1, функция $y = \cos x$ принимает при $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение.
Функция принимает значение -1, когда $\cos x = -1$. Решением этого уравнения является серия точек: $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Наименьшее значение, равное -1, функция $y = \cos x$ принимает при $x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

9. Назвать область определения каждой из функций

$y = \arcsin x, y = \arccos x.$

y = arcsin x

Областью определения функции называется множество всех допустимых значений ее аргумента $x$. Функция $y = \arcsin x$ по определению является обратной к функции $x = \sin y$, где $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции. Множество значений функции синус, $E(\sin y)$, — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $y$ значение $\sin y$ находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно. Следовательно, аргумент $x$ функции $y = \arcsin x$ может принимать только значения из этого отрезка. Таким образом, область определения функции $y = \arcsin x$ задается двойным неравенством: $-1 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

y = arccos x

Аналогично, функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $x = \cos y$, где $y \in [0, \pi]$. Область определения функции арккосинус совпадает с множеством значений функции косинус. Множество значений функции косинус, $E(\cos y)$, также является отрезком $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $y$ значение $\cos y$ находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно. Следовательно, аргумент $x$ функции $y = \arccos x$ может принимать только значения из этого отрезка. Таким образом, область определения функции $y = \arccos x$ задается двойным неравенством: $-1 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

10. Назвать множество значений каждой из функций $y = \text{arctg } x$, $y = \text{arcctg } x$.

$y = \operatorname{arctg} x$

Функция $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс) является обратной к функции тангенса ($y = \operatorname{tg} x$) на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

По определению, арктангенс числа $x$ — это угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

Область определения арктангенса — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$, значение $\operatorname{arctg} x$ изменяется от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ (не включая концы интервала).

Следовательно, множество значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

$y = \operatorname{arcctg} x$

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ (арккотангенс) является обратной к функции котангенса ($y = \operatorname{ctg} x$) на интервале $(0; \pi)$.

По определению, арккотангенс числа $x$ — это угол $y$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $x$.

Область определения арккотангенса — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Когда $x$ изменяется от $+\infty$ до $-\infty$, значение $\operatorname{arcctg} x$ изменяется от $0$ до $\pi$ (не включая концы интервала).

Следовательно, множество значений функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — это интервал $(0; \pi)$.

Ответ: $(0; \pi)$.

1. Найти область определения функции $y = \text{tg } 2x$. Является ли эта функция чётной?

Найти область определения функции y = tg 2x

Функция тангенса $y = \tan(\alpha)$ определяется как отношение синуса к косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Она определена для всех значений аргумента $\alpha$, при которых знаменатель $\cos(\alpha)$ не равен нулю.

В нашем случае дана функция $y = \tan(2x)$. Её аргумент равен $2x$. Следовательно, функция не определена в тех точках $x$, где $\cos(2x) = 0$.

Решим тригонометрическое уравнение:

$\cos(2x) = 0$

Это уравнение справедливо, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Эти значения $x$ необходимо исключить из области определения функции. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением указанных точек.

Ответ: Область определения функции $D(y)$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых выполняется условие $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Является ли эта функция чётной?

Чтобы определить чётность функции, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции должна быть симметричной относительно точки $x=0$. Это означает, что если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также должен принадлежать ей. Как мы нашли выше, точки $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ исключаются. Если $x_0 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ — исключенная точка, то $-x_0 = -(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} - \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(-1-2k)}{2}$. Так как $k$ — целое, то $-1-2k$ также является целым числом. Это означает, что если $x_0$ исключается, то и $-x_0$ исключается. Область определения симметрична.
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $y(-x) = y(x)$ (для чётной функции)
   • $y(-x) = -y(x)$ (для нечётной функции)

Проверим нашу функцию $y(x) = \tan(2x)$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \tan(2(-x)) = \tan(-2x)$

Воспользуемся свойством нечётности функции тангенса: $\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)$.

$\tan(-2x) = -\tan(2x)$

Таким образом, мы получили, что $y(-x) = -y(x)$. Это определение нечётной функции.

Так как функция является нечётной, она не может быть чётной (кроме тривиального случая $y(x)=0$, который не является нашим).

Ответ: Нет, данная функция не является чётной. Она является нечётной.

2. Построить графики функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$. Для каждой из этих функций найти значения $x$ из данного отрезка, при которых:

1) $y(x)=1$;

2) $y(x)=-1$;

3) $y(x)=0$;

4) $y(x)>0$;

5) $y(x)<0$.

Задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проанализировать поведение функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$, что равносильно построению их графиков на данном отрезке. Затем, для каждой функции, нужно найти значения $x$ из этого отрезка, удовлетворяющие заданным условиям.

Функция $y = \sin x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$

График функции $y = \sin x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ представляет собой одну "волну" синусоиды. В точке $x = -2\pi$ значение функции равно 0. Затем функция возрастает до своего максимального значения, равного 1, в точке $x = -3\pi/2$. После этого функция убывает и снова достигает значения 0 в точке $x = -\pi$. На всем этом отрезке значения функции неотрицательны, то есть $y(x) \ge 0$.

1) $y(x) = 1$;

Решаем уравнение $\sin x = 1$. Общее решение имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$, при котором решение принадлежит отрезку $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le -\pi$
Делим все части на $\pi$: $-2 \le \frac{1}{2} + 2k \le -1$
Вычитаем $\frac{1}{2}$: $-2.5 \le 2k \le -1.5$
Делим на 2: $-1.25 \le k \le -0.75$
Единственное целое значение $k$ в этом промежутке - это $k = -1$.
При $k = -1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{3\pi}{2}$.

2) $y(x) = -1$;

Решаем уравнение $\sin x = -1$. Общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$ для отрезка $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le -\pi$
$-2 \le -\frac{1}{2} + 2k \le -1$
$-1.5 \le 2k \le -0.5$
$-0.75 \le k \le -0.25$
В этом промежутке нет целых значений $k$. Следовательно, на данном отрезке нет решений.
Ответ: таких значений $x$ нет.

3) $y(x) = 0$;

Решаем уравнение $\sin x = 0$. Общее решение: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$ для отрезка $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le \pi k \le -\pi$
$-2 \le k \le -1$
Целые значения $k$ в этом промежутке: $k = -2$ и $k = -1$.
При $k = -2$ получаем $x = -2\pi$.
При $k = -1$ получаем $x = -\pi$.
Ответ: $x = -2\pi$, $x = -\pi$.

4) $y(x) > 0$;

Как было показано при анализе графика, функция $y = \sin x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ обращается в ноль в точках $x = -2\pi$ и $x = -\pi$, а между ними принимает положительные значения. Таким образом, неравенство $\sin x > 0$ выполняется на всем интервале между этими точками.
Ответ: $x \in (-2\pi; -\pi)$.

5) $y(x) < 0$.

На всем отрезке $[-2\pi; -\pi]$ функция $y = \sin x$ принимает только неотрицательные значения ($y(x) \ge 0$). Следовательно, нет таких значений $x$, при которых $y(x) < 0$.
Ответ: таких значений $x$ нет.

Функция $y = \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$

График функции $y = \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ начинается в точке $x = -2\pi$ со своего максимального значения, равного 1. Затем функция монотонно убывает на всем отрезке, проходя через точку $x = -3\pi/2$, где ее значение равно 0, и достигает своего минимального значения, равного -1, в точке $x = -\pi$.

1) $y(x) = 1$;

Решаем уравнение $\cos x = 1$. Общее решение: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$ для отрезка $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le 2\pi k \le -\pi$
$-1 \le k \le -0.5$
Единственное целое значение $k$ - это $k = -1$.
При $k = -1$ получаем $x = 2\pi(-1) = -2\pi$.
Ответ: $x = -2\pi$.

2) $y(x) = -1$;

Решаем уравнение $\cos x = -1$. Общее решение: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$ для отрезка $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le \pi + 2\pi k \le -\pi$
$-2 \le 1 + 2k \le -1$
$-3 \le 2k \le -2$
$-1.5 \le k \le -1$
Единственное целое значение $k$ - это $k = -1$.
При $k = -1$ получаем $x = \pi + 2\pi(-1) = -\pi$.
Ответ: $x = -\pi$.

3) $y(x) = 0$;

Решаем уравнение $\cos x = 0$. Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$ для отрезка $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le -\pi$
$-2 \le \frac{1}{2} + k \le -1$
$-2.5 \le k \le -1.5$
Единственное целое значение $k$ - это $k = -2$.
При $k = -2$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi(-2) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{3\pi}{2}$.

4) $y(x) > 0$;

Из анализа графика следует, что функция $y = \cos x$ положительна на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ от начала отрезка до точки, где она обращается в ноль. То есть от $x = -2\pi$ (включительно, так как $\cos(-2\pi)=1 > 0$) до $x = -3\pi/2$ (не включительно, так как $\cos(-3\pi/2)=0$).
Ответ: $x \in [-2\pi; -3\pi/2)$.

5) $y(x) < 0$.

Функция $y = \cos x$ отрицательна на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ от точки, где она обращается в ноль, до конца отрезка. То есть от $x = -3\pi/2$ (не включительно) до $x = -\pi$ (включительно, так как $\cos(-\pi)=-1 < 0$).
Ответ: $x \in (-3\pi/2; -\pi]$.

3. Найти все значения x из промежутка $ \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right] $, для которых выполняется неравенство $ \cos x < -\frac{1}{2} $.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$ из промежутка $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$, для которых выполняется тригонометрическое неравенство $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Для решения этого неравенства, сначала найдём значения $x$, для которых $\cos x = -\frac{1}{2}$. Используя единичную тригонометрическую окружность, мы знаем, что косинус угла равен абсциссе (координате $x$) соответствующей точки на окружности. Значение косинуса равно $-\frac{1}{2}$ в двух точках на окружности.

Углы, соответствующие этим точкам, можно найти с помощью функции арккосинуса. Общее решение уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ дается формулой: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Вычислим $\arccos(-\frac{1}{2})$: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. На промежутке от $0$ до $2\pi$ это углы $x_1 = \frac{2\pi}{3}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Теперь вернемся к неравенству $\cos x < -\frac{1}{2}$. Нам нужно найти такие углы $x$, для которых абсцисса точки на единичной окружности меньше $-\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге окружности, которая лежит левее вертикальной прямой $x = -\frac{1}{2}$.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что это условие выполняется для углов, которые строго больше $\frac{2\pi}{3}$ и строго меньше $\frac{4\pi}{3}$. Таким образом, общее решение неравенства $\cos x < -\frac{1}{2}$ имеет вид: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На последнем шаге нам необходимо выбрать из этих решений те, которые попадают в заданный промежуток $x \in [\frac{\pi}{2}; 2\pi]$. Рассмотрим интервал, полученный при $n=0$: $x \in (\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$.

Проверим, принадлежит ли этот интервал промежутку $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$. Сравним границы:

• $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$ и $\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$. Так как $\frac{3\pi}{6} < \frac{4\pi}{6}$, то $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3}$.
• $\frac{4\pi}{3}$ и $2\pi = \frac{6\pi}{3}$. Так как $\frac{4\pi}{3} < \frac{6\pi}{3}$, то $\frac{4\pi}{3} < 2\pi$.

Поскольку весь интервал $(\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$ находится внутри промежутка $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$, он является решением.

Если мы возьмем другие значения $n$ (например, $n=1$ или $n=-1$), соответствующие интервалы решений $(\frac{8\pi}{3}; \frac{10\pi}{3})$ или $(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{2\pi}{3})$ не будут пересекаться с промежутком $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$.

Следовательно, искомые значения $x$ образуют интервал $(\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$