Номер 5, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 5, страница 45.

Условие.

5. Привести пример функции, у которой наименьший положительный период равен: $2\pi$; $\pi$; $\frac{\pi}{2}$; $3\pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения примеров функций с заданным наименьшим положительным периодом $T$ будем использовать свойство периода тригонометрических функций. Наименьший положительный период функции вида $y = \sin(kx)$ (а также $y = \cos(kx)$) вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Из этой формулы мы можем выразить коэффициент $k$ для заданного периода $T$: $|k| = \frac{2\pi}{T}$. Во всех примерах для простоты будем выбирать положительное значение $k$.

2π

Требуемый наименьший положительный период $T = 2\pi$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$. Примером функции является $y = \sin(1 \cdot x) = \sin(x)$. Также подходит функция $y = \cos(x)$, так как ее наименьший положительный период также равен $2\pi$.
Ответ: $y = \sin(x)$.

π

Требуемый наименьший положительный период $T = \pi$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$. Примером функции является $y = \sin(2x)$. Другим простым примером может служить функция $y = \tan(x)$, наименьший положительный период которой по определению равен $\pi$.
Ответ: $y = \sin(2x)$.

$\frac{\pi}{2}$

Требуемый наименьший положительный период $T = \frac{\pi}{2}$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$. Примером функции является $y = \sin(4x)$. Также можно было бы использовать функцию $y = \cos(4x)$.
Ответ: $y = \sin(4x)$.

3π

Требуемый наименьший положительный период $T = 3\pi$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}$. Примером функции является $y = \sin(\frac{2}{3}x)$.
Ответ: $y = \sin(\frac{2}{3}x)$.