Номер 2, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Проверь себя! - номер 2, страница 45.

Условие.

2. Построить графики функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$. Для каждой из этих функций найти значения $x$ из данного отрезка, при которых:

1) $y(x)=1$;

2) $y(x)=-1$;

3) $y(x)=0$;

4) $y(x)>0$;

5) $y(x)<0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проанализировать поведение функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$, что равносильно построению их графиков на данном отрезке. Затем, для каждой функции, нужно найти значения $x$ из этого отрезка, удовлетворяющие заданным условиям.

Функция $y = \sin x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$

График функции $y = \sin x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ представляет собой одну "волну" синусоиды. В точке $x = -2\pi$ значение функции равно 0. Затем функция возрастает до своего максимального значения, равного 1, в точке $x = -3\pi/2$. После этого функция убывает и снова достигает значения 0 в точке $x = -\pi$. На всем этом отрезке значения функции неотрицательны, то есть $y(x) \ge 0$.

1) $y(x) = 1$;

Решаем уравнение $\sin x = 1$. Общее решение имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$, при котором решение принадлежит отрезку $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le -\pi$
Делим все части на $\pi$: $-2 \le \frac{1}{2} + 2k \le -1$
Вычитаем $\frac{1}{2}$: $-2.5 \le 2k \le -1.5$
Делим на 2: $-1.25 \le k \le -0.75$
Единственное целое значение $k$ в этом промежутке - это $k = -1$.
При $k = -1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{3\pi}{2}$.

2) $y(x) = -1$;

Решаем уравнение $\sin x = -1$. Общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$ для отрезка $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le -\pi$
$-2 \le -\frac{1}{2} + 2k \le -1$
$-1.5 \le 2k \le -0.5$
$-0.75 \le k \le -0.25$
В этом промежутке нет целых значений $k$. Следовательно, на данном отрезке нет решений.
Ответ: таких значений $x$ нет.

3) $y(x) = 0$;

Решаем уравнение $\sin x = 0$. Общее решение: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$ для отрезка $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le \pi k \le -\pi$
$-2 \le k \le -1$
Целые значения $k$ в этом промежутке: $k = -2$ и $k = -1$.
При $k = -2$ получаем $x = -2\pi$.
При $k = -1$ получаем $x = -\pi$.
Ответ: $x = -2\pi$, $x = -\pi$.

4) $y(x) > 0$;

Как было показано при анализе графика, функция $y = \sin x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ обращается в ноль в точках $x = -2\pi$ и $x = -\pi$, а между ними принимает положительные значения. Таким образом, неравенство $\sin x > 0$ выполняется на всем интервале между этими точками.
Ответ: $x \in (-2\pi; -\pi)$.

5) $y(x) < 0$.

На всем отрезке $[-2\pi; -\pi]$ функция $y = \sin x$ принимает только неотрицательные значения ($y(x) \ge 0$). Следовательно, нет таких значений $x$, при которых $y(x) < 0$.
Ответ: таких значений $x$ нет.

Функция $y = \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$

График функции $y = \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ начинается в точке $x = -2\pi$ со своего максимального значения, равного 1. Затем функция монотонно убывает на всем отрезке, проходя через точку $x = -3\pi/2$, где ее значение равно 0, и достигает своего минимального значения, равного -1, в точке $x = -\pi$.

1) $y(x) = 1$;

Решаем уравнение $\cos x = 1$. Общее решение: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$ для отрезка $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le 2\pi k \le -\pi$
$-1 \le k \le -0.5$
Единственное целое значение $k$ - это $k = -1$.
При $k = -1$ получаем $x = 2\pi(-1) = -2\pi$.
Ответ: $x = -2\pi$.

2) $y(x) = -1$;

Решаем уравнение $\cos x = -1$. Общее решение: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$ для отрезка $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le \pi + 2\pi k \le -\pi$
$-2 \le 1 + 2k \le -1$
$-3 \le 2k \le -2$
$-1.5 \le k \le -1$
Единственное целое значение $k$ - это $k = -1$.
При $k = -1$ получаем $x = \pi + 2\pi(-1) = -\pi$.
Ответ: $x = -\pi$.

3) $y(x) = 0$;

Решаем уравнение $\cos x = 0$. Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем $k$ для отрезка $[-2\pi; -\pi]$:
$-2\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le -\pi$
$-2 \le \frac{1}{2} + k \le -1$
$-2.5 \le k \le -1.5$
Единственное целое значение $k$ - это $k = -2$.
При $k = -2$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi(-2) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{3\pi}{2}$.

4) $y(x) > 0$;

Из анализа графика следует, что функция $y = \cos x$ положительна на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ от начала отрезка до точки, где она обращается в ноль. То есть от $x = -2\pi$ (включительно, так как $\cos(-2\pi)=1 > 0$) до $x = -3\pi/2$ (не включительно, так как $\cos(-3\pi/2)=0$).
Ответ: $x \in [-2\pi; -3\pi/2)$.

5) $y(x) < 0$.

Функция $y = \cos x$ отрицательна на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ от точки, где она обращается в ноль, до конца отрезка. То есть от $x = -3\pi/2$ (не включительно) до $x = -\pi$ (включительно, так как $\cos(-\pi)=-1 < 0$).
Ответ: $x \in (-3\pi/2; -\pi]$.