Номер 1, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Проверь себя! - номер 1, страница 46.

Условие.

1. Построить график функции $y = -\cos x$ и найти значения $x$, при которых функция:

а) принимает отрицательные значения;

б) убывает.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения графика функции $y = -\cos x$ и анализа её свойств, мы будем исходить из известного графика функции $y = \cos x$.

Построение графика:

1. Сначала представим график основной функции $y = \cos x$. Это периодическая функция (период $2\pi$), которая представляет собой волнистую кривую (косинусоиду). Её значения лежат в диапазоне от -1 до 1.

2. График функции $y = -\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). То есть, если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \cos x$, то точка $(x_0, -y_0)$ будет принадлежать графику $y = -\cos x$.

Рассмотрим ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2\pi]$:

• При $x=0$, $y = -\cos(0) = -1$. Это точка минимума.
• При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = -\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. График пересекает ось $Ox$.
• При $x=\pi$, $y = -\cos(\pi) = -(-1) = 1$. Это точка максимума.
• При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y = -\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. График снова пересекает ось $Ox$.
• При $x=2\pi$, $y = -\cos(2\pi) = -1$. Функция возвращается в точку минимума.

Таким образом, мы получаем косинусоиду, "перевёрнутую" по сравнению с графиком $y = \cos x$.

а) принимает отрицательные значения

Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$:
$-\cos x < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\cos x > 0$

Функция косинус положительна в I и IV координатных четвертях. На числовой окружности это соответствует интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Поскольку функция косинус является периодической с периодом $2\pi$, то общее решение неравенства получается добавлением $2\pi k$ к границам найденного интервала, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) убывает

Чтобы найти промежутки убывания функции, можно проанализировать её производную. Функция убывает на тех интервалах, где её производная неположительна ($y' \le 0$).

Найдём производную функции $y = -\cos x$:
$y' = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$

Теперь решим неравенство $y' \le 0$:
$\sin x \le 0$

Функция синус принимает неположительные значения (т.е. отрицательные или равные нулю) в III и IV координатных четвертях. На числовой окружности это соответствует отрезку $[\pi, 2\pi]$.

С учётом периодичности функции синус (период $2\pi$), промежутки убывания функции $y = -\cos x$ задаются следующим выражением:

Ответ: $x \in [\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.