Номер 1, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 1, страница 46.
№1 (с. 46)
Условие. №1 (с. 46)
скриншот условия

1. Построить график функции $y = -\cos x$ и найти значения $x$, при которых функция:
а) принимает отрицательные значения;
б) убывает.
Решение 1. №1 (с. 46)


Решение 2. №1 (с. 46)

Решение 3. №1 (с. 46)
Для построения графика функции $y = -\cos x$ и анализа её свойств, мы будем исходить из известного графика функции $y = \cos x$.
Построение графика:
1. Сначала представим график основной функции $y = \cos x$. Это периодическая функция (период $2\pi$), которая представляет собой волнистую кривую (косинусоиду). Её значения лежат в диапазоне от -1 до 1.
2. График функции $y = -\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). То есть, если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \cos x$, то точка $(x_0, -y_0)$ будет принадлежать графику $y = -\cos x$.
Рассмотрим ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2\pi]$:
- При $x=0$, $y = -\cos(0) = -1$. Это точка минимума.
- При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = -\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. График пересекает ось $Ox$.
- При $x=\pi$, $y = -\cos(\pi) = -(-1) = 1$. Это точка максимума.
- При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y = -\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. График снова пересекает ось $Ox$.
- При $x=2\pi$, $y = -\cos(2\pi) = -1$. Функция возвращается в точку минимума.
Таким образом, мы получаем косинусоиду, "перевёрнутую" по сравнению с графиком $y = \cos x$.
а) принимает отрицательные значения
Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$:
$-\cos x < 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\cos x > 0$
Функция косинус положительна в I и IV координатных четвертях. На числовой окружности это соответствует интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Поскольку функция косинус является периодической с периодом $2\pi$, то общее решение неравенства получается добавлением $2\pi k$ к границам найденного интервала, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
б) убывает
Чтобы найти промежутки убывания функции, можно проанализировать её производную. Функция убывает на тех интервалах, где её производная неположительна ($y' \le 0$).
Найдём производную функции $y = -\cos x$:
$y' = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$
Теперь решим неравенство $y' \le 0$:
$\sin x \le 0$
Функция синус принимает неположительные значения (т.е. отрицательные или равные нулю) в III и IV координатных четвертях. На числовой окружности это соответствует отрезку $[\pi, 2\pi]$.
С учётом периодичности функции синус (период $2\pi$), промежутки убывания функции $y = -\cos x$ задаются следующим выражением:
Ответ: $x \in [\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 46 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 46), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.