Страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Расположить в порядке возрастания числа:

$\text{ctg} \frac{\pi}{3}$, $\text{ctg} \frac{7\pi}{8}$, $\text{ctg} \frac{5\pi}{7}$, $\text{ctg} 2$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, проанализируем каждое из них, определив их знаки и сравнив их величины.

1. Определение знаков чисел

Определим, в какой координатной четверти находится аргумент каждой функции, и, соответственно, знак самого числа. Для этого будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

• Для $ctg\frac{\pi}{3}$: Аргумент $\frac{\pi}{3}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$. Котангенс в первой четверти положителен. Значит, $ctg\frac{\pi}{3} > 0$. Это табличное значение: $ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

• Для $ctg\frac{7\pi}{8}$: Аргумент $\frac{7\pi}{8}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8} < \frac{7\pi}{8} < \pi = \frac{8\pi}{8}$. Котангенс во второй четверти отрицателен. Значит, $ctg\frac{7\pi}{8} < 0$.

• Для $ctg\frac{5\pi}{7}$: Аргумент $\frac{5\pi}{7}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{3,5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \pi = \frac{7\pi}{7}$. Котангенс во второй четверти отрицателен. Значит, $ctg\frac{5\pi}{7} < 0$.

• Для $ctg2$: Аргумент 2 (радианы) находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Поскольку $1,57 < 2 < 3,14$, то $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$. Котангенс во второй четверти отрицателен. Значит, $ctg2 < 0$.

Из этого анализа следует, что $ctg\frac{\pi}{3}$ — единственное положительное число, а значит, оно будет самым большим в данном ряду. Остается сравнить между собой три отрицательных числа: $ctg\frac{7\pi}{8}$, $ctg\frac{5\pi}{7}$ и $ctg2$.

2. Сравнение отрицательных чисел

Для сравнения значений котангенса воспользуемся свойством функции $y=ctg(x)$. На интервале $(0, \pi)$ эта функция является строго убывающей. Это означает, что для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $ctg(x_1) > ctg(x_2)$.

Все три наших аргумента — $\frac{7\pi}{8}$, $\frac{5\pi}{7}$ и $2$ — принадлежат интервалу $(0, \pi)$. Сравним их между собой.

• Сравним $2$ и $\frac{5\pi}{7}$. Для этого сравним $14$ и $5\pi$. Используя $\pi > 3$, получаем $5\pi > 15$. Так как $14 < 15$, то $14 < 5\pi$, и, следовательно, $2 < \frac{5\pi}{7}$.

• Сравним $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$. Для этого сравним дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{8}$. Приведем их к общему знаменателю $56$: $\frac{5}{7} = \frac{40}{56}$ и $\frac{7}{8} = \frac{49}{56}$. Так как $\frac{40}{56} < \frac{49}{56}$, то $\frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$.

Таким образом, мы установили порядок для аргументов:

$2 < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$

Поскольку функция $y=ctg(x)$ убывает на интервале $(0, \pi)$, для значений котангенса будет выполняться обратное неравенство:

$ctg(2) > ctg(\frac{5\pi}{7}) > ctg(\frac{7\pi}{8})$

3. Итоговое расположение чисел

Мы выяснили, что $ctg\frac{7\pi}{8}$ — самое маленькое из отрицательных чисел, за ним следует $ctg\frac{5\pi}{7}$, а затем $ctg2$. Самым большим числом является положительное значение $ctg\frac{\pi}{3}$.

Располагая все числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем следующий ряд:

$ctg\frac{7\pi}{8}, ctg\frac{5\pi}{7}, ctg2, ctg\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $ctg\frac{7\pi}{8}, ctg\frac{5\pi}{7}, ctg2, ctg\frac{\pi}{3}$.

1. Построить график функции $y = -\cos x$ и найти значения $x$, при которых функция:

а) принимает отрицательные значения;

б) убывает.

Для построения графика функции $y = -\cos x$ и анализа её свойств, мы будем исходить из известного графика функции $y = \cos x$.

Построение графика:

1. Сначала представим график основной функции $y = \cos x$. Это периодическая функция (период $2\pi$), которая представляет собой волнистую кривую (косинусоиду). Её значения лежат в диапазоне от -1 до 1.

2. График функции $y = -\cos x$ получается из графика $y = \cos x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). То есть, если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \cos x$, то точка $(x_0, -y_0)$ будет принадлежать графику $y = -\cos x$.

Рассмотрим ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 2\pi]$:

• При $x=0$, $y = -\cos(0) = -1$. Это точка минимума.
• При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = -\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. График пересекает ось $Ox$.
• При $x=\pi$, $y = -\cos(\pi) = -(-1) = 1$. Это точка максимума.
• При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y = -\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. График снова пересекает ось $Ox$.
• При $x=2\pi$, $y = -\cos(2\pi) = -1$. Функция возвращается в точку минимума.

Таким образом, мы получаем косинусоиду, "перевёрнутую" по сравнению с графиком $y = \cos x$.

а) принимает отрицательные значения

Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$:
$-\cos x < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\cos x > 0$

Функция косинус положительна в I и IV координатных четвертях. На числовой окружности это соответствует интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Поскольку функция косинус является периодической с периодом $2\pi$, то общее решение неравенства получается добавлением $2\pi k$ к границам найденного интервала, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) убывает

Чтобы найти промежутки убывания функции, можно проанализировать её производную. Функция убывает на тех интервалах, где её производная неположительна ($y' \le 0$).

Найдём производную функции $y = -\cos x$:
$y' = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$

Теперь решим неравенство $y' \le 0$:
$\sin x \le 0$

Функция синус принимает неположительные значения (т.е. отрицательные или равные нулю) в III и IV координатных четвертях. На числовой окружности это соответствует отрезку $[\pi, 2\pi]$.

С учётом периодичности функции синус (период $2\pi$), промежутки убывания функции $y = -\cos x$ задаются следующим выражением:

Ответ: $x \in [\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2. Построить график функции $y = \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right)$ и найти значения $x$, при которых функция принимает положительные значения.

Построить график функции $y = \sin(\frac{\pi}{3} - x)$

Для построения графика функции $y = \sin(\frac{\pi}{3} - x)$ мы преобразуем ее к более удобному для анализа виду и затем применим последовательные геометрические преобразования к базовому графику функции $y = \sin(x)$.

1. Упрощение выражения. Используя свойство нечетности синуса, которое гласит, что $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, мы можем переписать исходную функцию: $y = \sin(\frac{\pi}{3} - x) = \sin(-(x - \frac{\pi}{3})) = -\sin(x - \frac{\pi}{3})$.

2. Геометрические преобразования. Теперь видно, что график нашей функции можно получить из графика $y = \sin(x)$ в два шага:
- Сначала мы строим график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Это график $y = \sin(x)$, сдвинутый вдоль оси абсцисс (Ox) вправо на величину $\frac{\pi}{3}$.
- Затем мы строим график $y = -\sin(x - \frac{\pi}{3})$. Это результат симметричного отражения предыдущего графика $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ относительно оси абсцисс (Ox).

Для более точного построения найдем ключевые точки графика.
Нули функции (пересечения с осью Ox) находятся из условия $y=0$:
$-\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{3} = k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума (где $y=1$) находятся из условия $-\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$, или $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1$:
$x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума (где $y=-1$) находятся из условия $-\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1$, или $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$:
$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \sin(\frac{\pi}{3} - x)$ — это стандартная синусоида $y=\sin(x)$, которая сначала сдвигается вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$, а затем симметрично отражается относительно оси Ox.

Найти значения x, при которых функция принимает положительные значения

Для нахождения всех значений $x$, при которых $y > 0$, необходимо решить тригонометрическое неравенство: $\sin(\frac{\pi}{3} - x) > 0$.

Известно, что функция $\sin(t)$ принимает положительные значения, когда ее аргумент $t$ находится в интервалах $(0, \pi)$, с учетом периодичности. Таким образом, общее решение для аргумента $t$ имеет вид: $2\pi k < t < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $t = \frac{\pi}{3} - x$. Подставим его в неравенство: $2\pi k < \frac{\pi}{3} - x < \pi + 2\pi k$.

Теперь решим это двойное неравенство относительно $x$.
1. Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех трех частей неравенства:
$2\pi k - \frac{\pi}{3} < -x < \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$2\pi k - \frac{\pi}{3} < -x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

2. Умножим все части неравенства на -1. При этом знаки неравенства меняются на противоположные:
$-(2\pi k - \frac{\pi}{3}) > x > -(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$
$\frac{\pi}{3} - 2\pi k > x > -\frac{2\pi}{3} - 2\pi k$.

Для удобства записи, расположим части неравенства в порядке возрастания: $-\frac{2\pi}{3} - 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} - 2\pi k$.
Так как $k$ — любое целое число, то $-k$ также пробегает все целые числа. Мы можем заменить $-k$ на $n$ ($n \in \mathbb{Z}$), чтобы получить более стандартную форму записи ответа: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x \in (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. С помощью графиков функций выяснить, сколько корней имеет уравнение $ \cos x = \lg x $.

Для того чтобы выяснить, сколько корней имеет уравнение $cos(x) = lg(x)$, необходимо найти, в скольких точках пересекаются графики функций $y = cos(x)$ и $y = lg(x)$. Проведем анализ этих функций и их графиков.

Анализ свойств функций

Функция $y = cos(x)$:
- Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
- Область значений — отрезок $[-1, 1]$.
- Функция периодическая с периодом $2\pi$.

Функция $y = lg(x)$ (десятичный логарифм):
- Область определения — все положительные действительные числа ($x > 0$).
- Область значений — все действительные числа.
- Функция является монотонно возрастающей.

Определение области поиска корней

Поскольку уравнение содержит $lg(x)$, его решения могут существовать только при $x > 0$.
Кроме того, левая часть уравнения, $cos(x)$, принимает значения только в пределах от -1 до 1. Это означает, что и правая часть, $lg(x)$, в точках-решениях должна лежать в том же диапазоне:
$-1 \le lg(x) \le 1$
Применяя потенцирование по основанию 10, находим соответствующий диапазон для $x$:
$10^{-1} \le x \le 10^1$
$0.1 \le x \le 10$
Таким образом, все возможные корни уравнения находятся на отрезке $[0.1, 10]$.

Графический анализ на отрезке $[0.1, 10]$

Рассмотрим поведение графиков на данном отрезке. Для анализа будем использовать ключевые точки функции $cos(x)$ и приближенные значения констант: $\pi \approx 3.14$, $2\pi \approx 6.28$, $3\pi \approx 9.42$.
1. На интервале $(0, 2\pi] \approx (0, 6.28]$ график $y = cos(x)$ совершает один полный цикл колебания.
- При $x=1$, имеем: $cos(1) \approx 0.54$, а $lg(1) = 0$. Так как $cos(1) > lg(1)$.
- При $x=\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, имеем: $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, а $lg(\frac{\pi}{2}) > lg(1) = 0$. Так как $cos(\frac{\pi}{2}) < lg(\frac{\pi}{2})$.
Поскольку на отрезке $[1, \frac{\pi}{2}]$ разность $cos(x) - lg(x)$ меняет знак с плюса на минус, и обе функции непрерывны, здесь находится первый корень.
- На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \approx (1.57, 4.71)$ функция $cos(x)$ отрицательна, а $lg(x)$ положительна, поэтому пересечений нет.
- На интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \approx (4.71, 6.28]$: при $x=\frac{3\pi}{2}$ имеем $cos(x)=0 < lg(x)$. При $x=2\pi$, имеем $cos(2\pi)=1$, а $lg(2\pi) \approx lg(6.28) < lg(10) = 1$. Таким образом, $cos(2\pi) > lg(2\pi)$. Разность $cos(x) - lg(x)$ снова меняет знак (с минуса на плюс), что указывает на наличие второго корня.
2. На интервале $(2\pi, 10] \approx (6.28, 10]$:
- При $x=2\pi$ имеем $cos(x) > lg(x)$.
- В следующей ключевой точке $x=\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$: $cos(\frac{5\pi}{2})=0$, а $lg(\frac{5\pi}{2}) > 0$. Значит, $cos(x) < lg(x)$. Смена знака разности означает, что на интервале $(2\pi, \frac{5\pi}{2})$ есть третий корень.
- На оставшейся части интервала $(\frac{5\pi}{2}, 10]$ функция $cos(x)$ отрицательна или равна нулю, а $lg(x)$ положительна, поэтому новых корней нет.
3. При $x > 10$, значение $lg(x)$ становится строго больше 1, в то время как $cos(x) \le 1$. Следовательно, равенство невозможно и других корней нет.

В итоге, мы обнаружили три точки пересечения графиков, следовательно, уравнение имеет три корня.
Ответ: 3

4. Найти множество значений функции $y = \sin^2 x + 2\cos 2x$.

Для того чтобы найти множество значений функции $y = \sin^2 x + 2\cos 2x$, необходимо привести данное выражение к функции от одной переменной. Мы можем выразить все слагаемые через одну тригонометрическую функцию, например, через $\sin^2 x$ или $\cos 2x$.

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Подставим это выражение в исходное уравнение функции:

$y = \sin^2 x + 2(1 - 2\sin^2 x)$

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$y = \sin^2 x + 2 - 4\sin^2 x$

$y = 2 - 3\sin^2 x$

Мы получили функцию, зависящую только от $\sin^2 x$. Чтобы найти ее множество значений, введем новую переменную. Пусть $t = \sin^2 x$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$.

Когда мы возводим в квадрат значения из этого отрезка, мы получаем значения в отрезке $[0, 1]$. Таким образом, для нашей переменной $t$ справедливо неравенство:

$0 \le t \le 1$

Подставив $t$ в наше упрощенное выражение для $y$, получим линейную функцию:

$y(t) = 2 - 3t$, где $t \in [0, 1]$.

Так как эта функция является линейной с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-3$), она убывает на всей своей области определения. Следовательно, свое наибольшее значение она принимает в начальной точке отрезка $[0, 1]$, а наименьшее — в конечной.

Найдем максимальное значение функции, подставив $t=0$:

$y_{max} = 2 - 3 \cdot 0 = 2$

Найдем минимальное значение функции, подставив $t=1$:

$y_{min} = 2 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1$

Таким образом, множество значений функции $y$ — это отрезок от $-1$ до $2$.

Ответ: $E(y) = [-1; 2]$.

5. Исследовать функцию $y = \frac{1}{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$ и построить её график.

Проведем полное исследование функции $y = \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$.

1. Область определения функции

Аргумент функции синуса, выражение $2x - \frac{\pi}{3}$, определен для любых действительных значений $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений функции

Значения функции синуса лежат в промежутке $[-1, 1]$:

$-1 \le \sin(2x - \frac{\pi}{3}) \le 1$

Умножим все части неравенства на $\frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-\frac{1}{2} + 1 \le \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1 \le \frac{1}{2} + 1$

$\frac{1}{2} \le y \le \frac{3}{2}$

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$.

3. Четность и нечетность

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{1}{2}\sin(2(-x) - \frac{\pi}{3}) + 1 = \frac{1}{2}\sin(-2x - \frac{\pi}{3}) + 1 = -\frac{1}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Функция общего вида.

4. Периодичность

Функция является синусоидой вида $y = A\sin(kx+b)+C$. Ее период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=2$.

$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: Основной период функции $T=\pi$.

5. Нули функции и пересечение с осями координат

Нули функции (пересечение с осью Ox):

Приравняем функцию к нулю: $\frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1 = 0$.

$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -2$.

Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin(\alpha)| \le 1$. Следовательно, график функции не пересекает ось $Ox$. Это согласуется с областью значений $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$.

Пересечение с осью Oy:

Найдем значение функции при $x=0$:

$y(0) = \frac{1}{2}\sin(0 - \frac{\pi}{3}) + 1 = \frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{3}) + 1 = -\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3}) + 1 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, 1 - \frac{\sqrt{3}}{4})$.

Ответ: Нулей у функции нет. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, 1 - \frac{\sqrt{3}}{4})$.

6. Промежутки знакопостоянства

Так как область значений функции $E(y) = [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$, все значения функции положительны.

Ответ: $y > 0$ при всех $x \in (-\infty, +\infty)$.

7. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем производную функции:

$y' = (\frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1)' = \frac{1}{2}\cos(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot (2x - \frac{\pi}{3})' = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$.

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

Определим характер экстремумов. Когда $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$, значение $\sin(2x - \frac{\pi}{3})$ равно $1$ или $-1$.

Если $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$ (это происходит при $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, т.е. $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$), то $y = \frac{1}{2}(1) + 1 = \frac{3}{2}$. Это точки максимума.

Если $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -1$ (это происходит при $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, т.е. $x = \frac{11\pi}{12} + \pi k$), то $y = \frac{1}{2}(-1) + 1 = \frac{1}{2}$. Это точки минимума.

Промежутки возрастания ($y' > 0$): $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) > 0$, что соответствует $-\frac{\pi}{12} + \pi k < x < \frac{5\pi}{12} + \pi k$.

Промежутки убывания ($y' < 0$): $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) < 0$, что соответствует $\frac{5\pi}{12} + \pi k < x < \frac{11\pi}{12} + \pi k$.

Ответ: Точки максимума: $(\frac{5\pi}{12} + \pi k, \frac{3}{2})$. Точки минимума: $(\frac{11\pi}{12} + \pi k, \frac{1}{2})$. Функция возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{12} + \pi k, \frac{5\pi}{12} + \pi k)$ и убывает на интервалах $(\frac{5\pi}{12} + \pi k, \frac{11\pi}{12} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

8. Построение графика

График функции $y = \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$ можно построить с помощью преобразований графика функции $y=\sin(x)$.

1. Базовый график: $y_1 = \sin(x)$.

2. Сжатие по оси Ox в 2 раза: $y_2 = \sin(2x)$. Период становится $T=\pi$.

3. Сдвиг по оси Ox вправо на $\frac{\pi}{6}$: $y_3 = \sin(2(x - \frac{\pi}{6})) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$.

4. Сжатие по оси Oy в 2 раза: $y_4 = \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3})$. Амплитуда становится $\frac{1}{2}$.

5. Сдвиг по оси Oy вверх на 1: $y = \frac{1}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$. Средняя линия $y=1$.

Ключевые точки для одного периода:

- Точки на средней линии: $(\frac{\pi}{6}, 1)$, $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.

- Точка максимума: $(\frac{5\pi}{12}, \frac{3}{2})$.

- Точка минимума: $(\frac{11\pi}{12}, \frac{1}{2})$.

Построенный на основе этого исследования график представлен ниже.

Ответ: График функции — синусоида с амплитудой $\frac{1}{2}$, периодом $\pi$, сдвинутая по фазе на $\frac{\pi}{6}$ вправо и смещенная на 1 вверх.