Страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

114. Найти множество значений функции $y = f(x)$ на промежутке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$, если:

1) f(x) = sin x
Функция $y = \sin x$ является возрастающей на промежутке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$, так как этот промежуток является частью отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором синус возрастает. Следовательно, для нахождения множества значений достаточно вычислить значения функции на концах заданного отрезка.
Наименьшее значение функция принимает в левой границе промежутка:
$f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Наибольшее значение функция принимает в правой границе промежутка:
$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, множество значений функции на данном промежутке — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.
Ответ: $[-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$

2) f(x) = cos x
На промежутке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \cos x$ не является монотонной. На отрезке $[-\frac{\pi}{6}, 0]$ функция возрастает, а на отрезке $[0, \frac{\pi}{3}]$ — убывает. Это означает, что в точке $x=0$ функция достигает своего максимального значения на данном промежутке.
Максимальное значение: $f(0) = \cos(0) = 1$.
Чтобы найти наименьшее значение, необходимо вычислить значения функции на концах отрезка и выбрать из них наименьшее.
$f(-\frac{\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение равно $\frac{1}{2}$.
Таким образом, множество значений функции — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.
Ответ: $[\frac{1}{2}, 1]$

3) f(x) = tg x
Функция $y = \tan x$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Заданный промежуток $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ полностью входит в этот интервал, поэтому на нем функция $\tan x$ также возрастает. Следовательно, наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах этого отрезка.
Наименьшее значение:
$f(-\frac{\pi}{6}) = \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Наибольшее значение:
$f(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$
Множество значений функции на данном промежутке — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.
Ответ: $[-\frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}]$

115. С помощью графика функции $y = \cos x$ найти такие значения $x$ из заданного промежутка, при которых справедливо равенство:

1) $\cos x = -\frac{1}{2}$, $[ -\frac{\pi}{2}; \pi ]$;

2) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $[ -\frac{3\pi}{2}; 0 ]$.

1) Чтобы найти значения $x$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$, при которых справедливо равенство $\cos x = -\frac{1}{2}$, необходимо найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = \cos x$ и прямой $y = -\frac{1}{2}$ на данном промежутке.

Построим график функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. На этом отрезке косинусоида проходит через точки $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\pi, -1)$. Прямая $y = -\frac{1}{2}$ — это горизонтальная линия, проходящая ниже оси абсцисс.

Графически видно, что на интервале $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ значения косинуса неотрицательны, поэтому пересечений с прямой $y = -\frac{1}{2}$ здесь нет. Пересечение происходит на интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi]$, где значения косинуса отрицательны. В этом интервале существует только одна точка пересечения.

Абсцисса этой точки — это корень уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$. Используя определение арккосинуса, находим $x = \arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Убедимся, что найденное значение $x = \frac{2\pi}{3}$ принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Это действительно так, поскольку $-\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3}$.

2) Чтобы найти значения $x$ из промежутка $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$, при которых справедливо равенство $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, необходимо найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = \cos x$ и прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на данном промежутке.

Построим график функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$. На этом отрезке косинусоида проходит через точки $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(-\pi, -1)$, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(0, 1)$. Прямая $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — это горизонтальная линия, проходящая выше оси абсцисс (так как $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$).

Графически видно, что на интервале $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$ значения косинуса неположительны, поэтому пересечений с прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ здесь нет. Пересечение происходит на интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0]$, где значения косинуса положительны. В этом интервале существует только одна точка пересечения.

Абсцисса этой точки — это корень уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее решение этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.

Нам необходимо выбрать из этих решений то, которое принадлежит промежутку $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$.
Из серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ ни одно решение не входит в заданный промежуток (при $k=0$ $x>0$, при $k<0$ $x < -\frac{3\pi}{2}$).
Из серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ при $k=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{4}$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \le 0$. Другие значения $k$ дают решения вне этого промежутка.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4}$.

116. С помощью графиков функций $y = \operatorname{tg}x$ и $y = \operatorname{ctg}x$ найти все такие значения $x$ из заданного промежутка, при которых справедливо неравенство:

1) $ \operatorname{tg}x \le \sqrt{3}, [-\pi; \pi]; $

2) $ \operatorname{ctg}x \le 1, (-\pi; \frac{3\pi}{2}]; $

3) $ \operatorname{ctg}x \ge -1, [-\frac{\pi}{2}; 2\pi); $

4) $ \operatorname{tg}x \ge -\sqrt{3}, (-\frac{3\pi}{2}; \pi]. $

Для решения неравенств воспользуемся графиками функций $y = \text{tg}\,x$ и $y = \text{ctg}\,x$, а также графиками соответствующих постоянных функций (горизонтальных линий). Решение неравенства сводится к нахождению таких значений $x$ из заданного промежутка, для которых график одной функции расположен выше (или ниже) графика другой функции.

1) $\text{tg}\,x \le \sqrt{3}$, $[-\pi; \pi]$

Рассмотрим функции $y = \text{tg}\,x$ и $y = \sqrt{3}$ на промежутке $[-\pi; \pi]$.
1. Сначала найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $\text{tg}\,x = \sqrt{3}$. Общее решение: $x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выберем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$:
- при $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.
- при $n=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.
3. Функция $y = \text{tg}\,x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. На заданном промежутке это точки $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$. Эти точки являются вертикальными асимптотами графика.
4. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = \text{tg}\,x$ находится не выше прямой $y = \sqrt{3}$.
Разобьем отрезок $[-\pi; \pi]$ на интервалы с учетом асимптот: $[-\pi; -\frac{\pi}{2})$, $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}; \pi]$.
- На интервале $[-\pi; -\frac{\pi}{2})$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $\text{tg}(-\pi)=0$ до $+\infty$. Неравенство $\text{tg}\,x \le \sqrt{3}$ выполняется на отрезке от начала интервала до точки пересечения $x = -\frac{2\pi}{3}$. Таким образом, получаем промежуток $[-\pi; -\frac{2\pi}{3}]$.
- На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Неравенство выполняется от начала интервала до точки пересечения $x = \frac{\pi}{3}$. Получаем промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3}]$.
- На интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $-\infty$ до $\text{tg}(\pi)=0$. Все значения функции на этом интервале меньше или равны 0, следовательно, они меньше $\sqrt{3}$. Таким образом, весь этот интервал является решением: $(\frac{\pi}{2}; \pi]$.
5. Объединяя полученные промежутки, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in [-\pi; -\frac{2\pi}{3}] \cup (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3}] \cup (\frac{\pi}{2}; \pi]$.

2) $\text{ctg}\,x \le 1$, $(-\pi; \frac{3\pi}{2}]$

Рассмотрим функции $y = \text{ctg}\,x$ и $y = 1$ на промежутке $(-\pi; \frac{3\pi}{2}]$.
1. Найдем точки пересечения, решив уравнение $\text{ctg}\,x = 1$. Общее решение: $x = \text{arcctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выберем корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; \frac{3\pi}{2}]$:
- при $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$.
- при $n=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.
- при $n=-1$, $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.
3. Функция $y = \text{ctg}\,x$ не определена в точках $x = \pi n$. На заданном промежутке это точки $x=0$ и $x=\pi$. Это вертикальные асимптоты.
4. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = \text{ctg}\,x$ находится не выше прямой $y=1$.
Разобьем промежуток $(-\pi; \frac{3\pi}{2}]$ на интервалы с учетом асимптот: $(-\pi; 0)$, $(0; \pi)$, $(\pi; \frac{3\pi}{2}]$.
- На интервале $(-\pi; 0)$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $+\infty$ до $-\infty$. Неравенство $\text{ctg}\,x \le 1$ выполняется от точки пересечения $x = -\frac{3\pi}{4}$ до конца интервала (до асимптоты). Получаем промежуток $[-\frac{3\pi}{4}; 0)$.
- На интервале $(0; \pi)$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $+\infty$ до $-\infty$. Неравенство выполняется от точки пересечения $x = \frac{\pi}{4}$ до конца интервала. Получаем промежуток $[\frac{\pi}{4}; \pi)$.
- На интервале $(\pi; \frac{3\pi}{2}]$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $+\infty$ до $\text{ctg}(\frac{3\pi}{2})=0$. Неравенство выполняется от точки пересечения $x = \frac{5\pi}{4}$ до конца интервала. Получаем промежуток $[\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}]$.
5. Объединяем найденные промежутки.
Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{4}; 0) \cup [\frac{\pi}{4}; \pi) \cup [\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}]$.

3) $\text{ctg}\,x \ge -1$, $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$

Рассмотрим функции $y = \text{ctg}\,x$ и $y = -1$ на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$.
1. Найдем точки пересечения, решив уравнение $\text{ctg}\,x = -1$. Общее решение: $x = \text{arcctg}(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выберем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$:
- при $n=0$, $x = \frac{3\pi}{4}$.
- при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$.
- при $n=-1$, $x = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$.
3. Вертикальные асимптоты функции $y = \text{ctg}\,x$ на заданном промежутке: $x=0$ и $x=\pi$.
4. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = \text{ctg}\,x$ находится не ниже прямой $y=-1$.
Разобьем промежуток $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi)$ на интервалы: $[-\frac{\pi}{2}; 0)$, $(0; \pi)$, $(\pi; 2\pi)$.
- На интервале $[-\frac{\pi}{2}; 0)$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $\text{ctg}(-\frac{\pi}{2})=0$ до $-\infty$. Неравенство $\text{ctg}\,x \ge -1$ выполняется от начала интервала до точки пересечения $x = -\frac{\pi}{4}$. Получаем промежуток $[-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$.
- На интервале $(0; \pi)$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $+\infty$ до $-\infty$. Неравенство выполняется от начала интервала до точки пересечения $x = \frac{3\pi}{4}$. Получаем промежуток $(0; \frac{3\pi}{4}]$.
- На интервале $(\pi; 2\pi)$ функция $\text{ctg}\,x$ убывает от $+\infty$ до $-\infty$. Неравенство выполняется от начала интервала до точки пересечения $x = \frac{7\pi}{4}$. Получаем промежуток $(\pi; \frac{7\pi}{4}]$.
5. Объединяем полученные решения.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}] \cup (0; \frac{3\pi}{4}] \cup (\pi; \frac{7\pi}{4}]$.

4) $\text{tg}\,x \ge -\sqrt{3}$, $(-\frac{3\pi}{2}; \pi]$

Рассмотрим функции $y = \text{tg}\,x$ и $y = -\sqrt{3}$ на промежутке $(-\frac{3\pi}{2}; \pi]$.
1. Найдем точки пересечения, решив уравнение $\text{tg}\,x = -\sqrt{3}$. Общее решение: $x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выберем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{3\pi}{2}; \pi]$:
- при $n=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$.
- при $n=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.
- при $n=-1$, $x = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3}$.
3. Вертикальные асимптоты функции $y = \text{tg}\,x$ на заданном промежутке: $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.
4. Нам нужно найти значения $x$, при которых график $y = \text{tg}\,x$ находится не ниже прямой $y=-\sqrt{3}$.
Разобьем промежуток $(-\frac{3\pi}{2}; \pi]$ на интервалы: $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$, $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}; \pi]$.
- На интервале $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Неравенство $\text{tg}\,x \ge -\sqrt{3}$ выполняется от точки пересечения $x = -\frac{4\pi}{3}$ до конца интервала. Получаем промежуток $[-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2})$.
- На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Неравенство выполняется от точки пересечения $x = -\frac{\pi}{3}$ до конца интервала. Получаем промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2})$.
- На интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $\text{tg}\,x$ возрастает от $-\infty$ до $\text{tg}(\pi)=0$. Неравенство выполняется от точки пересечения $x = \frac{2\pi}{3}$ до конца интервала. Получаем промежуток $[\frac{2\pi}{3}; \pi]$.
5. Объединяем полученные решения.
Ответ: $x \in [-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}) \cup [-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{2\pi}{3}; \pi]$.

117. Найти принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$ корни уравнения:

1) $2\cos x + \sqrt{3} = 0;$

2) $\sqrt{3} - \sin x = \sin x;$

3) $3\operatorname{tg} x = \sqrt{3};$

4) $\cos x + 1 = 0.$

1) 2cos x + √3 = 0;

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $\cos x$:
$2\cos x = -\sqrt{3}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:
$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то общее решение:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Это дает две серии корней:
1. $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
2. $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$.
Для первой серии:
При $k=0$: $x = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток, так как $0 \le \frac{5\pi}{6} \le 3\pi$.
При $k=1$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток, так как $\frac{17}{6} \approx 2.83$, что меньше 3.
При $k=2$: $x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{29}{6} > 3$.
Для второй серии:
При $k=0$: $x = -\frac{5\pi}{6}$. Не входит в промежуток.
При $k=1$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток, так как $0 \le \frac{7\pi}{6} \le 3\pi$.
При $k=2$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{19}{6} > 3$.
Таким образом, мы нашли три корня, принадлежащих заданному промежутку.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}$.

2) √3 - sin x = sin x;

Преобразуем уравнение:
$\sqrt{3} = \sin x + \sin x$
$\sqrt{3} = 2\sin x$
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение этого уравнения:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то
$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим две серии корней (для четных и нечетных $k$):
1. Если $k=2n$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
2. Если $k=2n+1$: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi(2n+1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Выберем корни из промежутка $[0; 3\pi]$.
Для первой серии:
При $n=0$: $x = \frac{\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку ($7/3 \approx 2.33 < 3$).
Для второй серии:
При $n=0$: $x = \frac{2\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку.
При $n=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку ($8/3 \approx 2.67 < 3$).
Следующие значения $n$ дадут корни за пределами промежутка.

Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.

3) 3tg x = √3;

Выразим $\tg x$ из уравнения:
$\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Общее решение данного уравнения:
$x = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$. Для этого решим неравенство:
$0 \le \frac{\pi}{6} + \pi k \le 3\pi$
Разделим все части на $\pi$:
$0 \le \frac{1}{6} + k \le 3$
Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:
$-\frac{1}{6} \le k \le 3 - \frac{1}{6}$
$-\frac{1}{6} \le k \le \frac{17}{6}$
Так как $k$ — целое число, то $k$ может принимать значения $0, 1, 2$.
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{6}$.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.
При $k=2$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$.

4) cos x + 1 = 0.

Преобразуем уравнение:
$\cos x = -1$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Его общее решение:
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни из промежутка $[0; 3\pi]$.
$0 \le \pi + 2\pi k \le 3\pi$
Разделим все части на $\pi$:
$0 \le 1 + 2k \le 3$
Вычтем 1 из всех частей:
$-1 \le 2k \le 2$
Разделим все части на 2:
$-0.5 \le k \le 1$
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $0, 1$.
При $k=0$: $x = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$.
При $k=1$: $x = \pi + 2\pi \cdot 1 = 3\pi$.
Оба корня принадлежат промежутку $[0; 3\pi]$.

Ответ: $\pi, 3\pi$.

118. Найти все принадлежащие промежутку $ [-2\pi; -\pi] $ решения неравенства:

1) $1 + 2 \cos x \ge 0;$

2) $1 - 2\sin x < 0;$

3) $2 + \operatorname{tg} x > 0;$

4) $1 - 2\operatorname{tg} x \le 0.$

1) Решим неравенство $1 + 2 \cos x \ge 0$ на промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

Сначала преобразуем неравенство:

$2 \cos x \ge -1$

$\cos x \ge -\frac{1}{2}$

Рассмотрим единичную окружность. Нам нужно найти углы $x$ в промежутке $[-2\pi, -\pi]$, для которых косинус (абсцисса точки на окружности) больше или равен $-\frac{1}{2}$.

Промежуток $x \in [-2\pi, -\pi]$ соответствует движению по единичной окружности против часовой стрелки от точки, соответствующей $0$ (и $-2\pi$), до точки, соответствующей $\pi$ (и $-\pi$). Это верхняя половина окружности.

На этом промежутке равенство $\cos x = -\frac{1}{2}$ достигается при $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$.

При $x=-2\pi$, $\cos(-2\pi) = 1$, что удовлетворяет условию $\cos x \ge -\frac{1}{2}$. По мере увеличения $x$ от $-2\pi$ до $-\frac{4\pi}{3}$, значение $\cos x$ убывает от $1$ до $-\frac{1}{2}$, оставаясь в пределах допустимых значений.

При $x > -\frac{4\pi}{3}$ (и вплоть до $-\pi$), значение $\cos x$ становится меньше, чем $-\frac{1}{2}$.

Следовательно, решением неравенства на заданном промежутке является $x \in [-2\pi, -\frac{4\pi}{3}]$.

Ответ: $x \in [-2\pi, -\frac{4\pi}{3}]$

2) Решим неравенство $1 - 2\sin x < 0$ на промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

Преобразуем неравенство:

$1 < 2\sin x$

$\sin x > \frac{1}{2}$

Ищем решения на промежутке $[-2\pi, -\pi]$. На этом промежутке, соответствующем верхней половине единичной окружности, синус (ордината точки на окружности) принимает значения от $0$ до $1$ и обратно до $0$.

Найдем значения $x$, для которых $\sin x = \frac{1}{2}$. В заданном промежутке это происходит в двух точках:

$x_1 = -2\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$

$x_2 = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$

Поскольку нам нужно, чтобы $\sin x$ был строго больше $\frac{1}{2}$, решением будет интервал между этими двумя точками.

Следовательно, решение неравенства на заданном промежутке — это $x \in (-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6})$.

Ответ: $x \in (-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6})$

3) Решим неравенство $2 + \operatorname{tg} x > 0$ на промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

Преобразуем неравенство:

$\operatorname{tg} x > -2$

Промежуток $[-2\pi, -\pi]$ содержит точку разрыва функции $\operatorname{tg} x$, которая равна $x = -\frac{3\pi}{2}$. Поэтому рассмотрим два подинтервала:

1. Для $x \in [-2\pi, -\frac{3\pi}{2})$. Этот интервал соответствует первой четверти на единичной окружности. Здесь $\operatorname{tg} x$ принимает значения от $0$ до $+\infty$. Любое неотрицательное число больше $-2$, поэтому неравенство $\operatorname{tg} x > -2$ выполняется для всех $x$ из этого интервала.

2. Для $x \in (-\frac{3\pi}{2}, -\pi]$. Этот интервал соответствует второй четверти. Здесь $\operatorname{tg} x$ принимает значения от $-\infty$ до $0$. Найдем точку, где $\operatorname{tg} x = -2$. Соответствующее значение угла в этом интервале: $x = \operatorname{arctg}(-2) - \pi = -\pi + \operatorname{arctg}(-2)$. Поскольку функция $\operatorname{tg} x$ возрастает на этом интервале, неравенство $\operatorname{tg} x > -2$ будет выполняться для $x > -\pi + \operatorname{arctg}(-2)$. Таким образом, получаем интервал $(-\pi + \operatorname{arctg}(-2), -\pi]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in [-2\pi, -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\pi + \operatorname{arctg}(-2), -\pi]$

4) Решим неравенство $1 - 2\operatorname{tg} x \le 0$ на промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

Преобразуем неравенство:

$1 \le 2\operatorname{tg} x$

$\operatorname{tg} x \ge \frac{1}{2}$

Рассмотрим промежуток $[-2\pi, -\pi]$ с точкой разрыва тангенса $x = -\frac{3\pi}{2}$.

1. Для $x \in (-\frac{3\pi}{2}, -\pi]$. В этой области (соответствует второй четверти) $\operatorname{tg} x \le 0$. Поскольку $\frac{1}{2} > 0$, неравенство $\operatorname{tg} x \ge \frac{1}{2}$ на этом интервале решений не имеет.

2. Для $x \in [-2\pi, -\frac{3\pi}{2})$. В этой области (соответствует первой четверти) $\operatorname{tg} x \ge 0$. Найдем точку, где $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$. Соответствующее значение угла в этом интервале: $x = \operatorname{arctg}(\frac{1}{2}) - 2\pi = -2\pi + \operatorname{arctg}(\frac{1}{2})$. Поскольку функция $\operatorname{tg} x$ на этом интервале возрастает, неравенство $\operatorname{tg} x \ge \frac{1}{2}$ выполняется для всех $x$, больших или равных этому значению. Таким образом, получаем интервал $[-2\pi + \operatorname{arctg}(\frac{1}{2}), -\frac{3\pi}{2})$.

Это и является окончательным решением.

Ответ: $x \in [-2\pi + \operatorname{arctg}(\frac{1}{2}), -\frac{3\pi}{2})$

119. С помощью графиков функций найти число корней уравнения:

1) $\cos x = x^2$;

2) $\sin x = \frac{x}{2}$.

Чтобы найти число корней уравнения, нужно определить количество точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.

1) $\cos x = x^2$

Рассмотрим две функции: $y = \cos x$ и $y = x^2$. Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.

1. $y = \cos x$ — это косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$. Её значения лежат в диапазоне от -1 до 1. Функция является четной, её график симметричен относительно оси Oy.

2. $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Функция также является четной, её график симметричен относительно оси Oy.

Так как обе функции четные, то если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также будет корнем. Это означает, что количество положительных корней равно количеству отрицательных корней. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как $\cos 0 = 1$, а $0^2 = 0$, и $1 \neq 0$.

Будем искать положительные корни. Пересечение возможно только при условии, что значения обеих функций совпадают. Так как область значений функции $y=\cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то нас интересуют только те значения $x$, для которых $y=x^2$ также находится в этом диапазоне. Условие $x^2 \le 1$ выполняется для $x \in [-1, 1]$. Кроме того, $x^2 \ge 0$, поэтому пересечение возможно только там, где $\cos x \ge 0$. Для положительных $x$ это интервалы $[0, \pi/2]$, $[3\pi/2, 5\pi/2]$ и т.д.

Таким образом, мы ищем положительные корни на интервале $(0, 1]$.

Рассмотрим поведение функций на этом интервале:

• При $x \to 0$ справа, $\cos x \to 1$, а $x^2 \to 0$. Значит, $\cos x > x^2$.
• В точке $x=1$, $\cos 1 \approx 0,54$, а $1^2=1$. Значит, $\cos 1 < 1^2$.

Так как обе функции непрерывны, а в начале интервала $(0, 1]$ функция $\cos x$ больше, чем $x^2$, а в конце — меньше, то на этом интервале должна быть как минимум одна точка пересечения. Чтобы доказать, что она единственная, рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - x^2$. Ее производная $f'(x) = -\sin x - 2x$. Для всех $x \in (0, 1]$ имеем $\sin x > 0$ и $2x > 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на этом интервале, а значит, она может пересечь ось Ox (т.е. принять значение 0) не более одного раза. Итак, на интервале $(0, \infty)$ есть ровно один корень. В силу симметрии графиков относительно оси Oy, существует также ровно один отрицательный корень.

Итого, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2

2) $\sin x = \frac{x}{2}$

Рассмотрим две функции: $y = \sin x$ и $y = \frac{x}{2}$. Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.

1. $y = \sin x$ — это синусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$. Её значения лежат в диапазоне от -1 до 1. Функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.

2. $y = \frac{x}{2}$ — это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $\frac{1}{2}$. Функция также является нечетной.

Сразу видно, что $x=0$ является корнем уравнения, так как $\sin 0 = 0$ и $\frac{0}{2} = 0$. Это первая точка пересечения — начало координат.

Так как обе функции нечетные, то если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также будет корнем. Поэтому достаточно найти количество положительных корней, умножить его на 2 и прибавить 1 (корень $x=0$).

Будем искать положительные корни. Пересечение возможно только при условии, что значения функции $y=\frac{x}{2}$ не выходят за пределы области значений функции $y = \sin x$, то есть $|\frac{x}{2}| \le 1$, что равносильно $|x| \le 2$. Таким образом, все возможные положительные корни лежат на интервале $(0, 2]$.

Рассмотрим поведение функций для $x>0$:

• При $x \to 0$ справа, производная $(\sin x)'$ равна $\cos 0 = 1$, а производная $(\frac{x}{2})'$ равна $\frac{1}{2}$. Так как $1 > \frac{1}{2}$, то вблизи нуля график $y=\sin x$ лежит выше графика $y=\frac{x}{2}$.
• В точке $x=2$, $y=\sin 2 \approx 0,91$, а $y=\frac{2}{2}=1$. Здесь график синуса уже ниже прямой.

Так как функции непрерывны, и в начале интервала $(0, 2]$ синусоида выше прямой, а в конце — ниже, то на этом интервале должна быть как минимум одна точка пересечения. Проанализируем функцию $g(x) = \sin x - \frac{x}{2}$ и ее производную $g'(x) = \cos x - \frac{1}{2}$. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $\cos x = \frac{1}{2}$. На интервале $(0, 2]$ это происходит в точке $x = \frac{\pi}{3} \approx 1,047$. На интервале $(0, \frac{\pi}{3})$ производная $g'(x) > 0$, функция $g(x)$ возрастает. На интервале $(\frac{\pi}{3}, 2]$ производная $g'(x) < 0$, функция $g(x)$ убывает. Значит, в точке $x = \frac{\pi}{3}$ функция $g(x)$ имеет максимум. $g(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi/3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \approx 0.866 - 0.524 = 0.342 > 0$. Так как функция $g(x)$ возрастает от $g(0)=0$ до положительного максимума, а затем убывает (причем $g(2) = \sin 2 - 1 < 0$), она пересекает ось Ox ровно один раз на интервале $(0, 2]$. Для $x > 2$ имеем $\frac{x}{2} > 1$, в то время как $\sin x \le 1$, поэтому других положительных корней нет. Итак, существует ровно один положительный корень.

В силу симметрии, существует также ровно один отрицательный корень. Вместе с корнем $x=0$, получаем $1+1+1=3$ корня.

Ответ: 3

120. Построить график функции:

1) $y = \frac{1}{2} \sin x;$

2) $y = \cos x - \frac{1}{2}.$

1) Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение базового графика $y = \sin x$.
   Это стандартная синусоида. Её основные свойства:
   • Период $T = 2\pi$.
   • Область значений $E(y) = [-1, 1]$.
   • Проходит через начало координат $(0, 0)$.
   • Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$ (максимум), $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ (минимум), $(2\pi, 0)$.
2. Преобразование графика.
   График функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза. Это преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ с коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. При таком преобразовании абсцисса ($x$) каждой точки графика остается неизменной, а ордината ($y$) умножается на $\frac{1}{2}$.
3. Анализ и построение итогового графика.
   • Период функции не меняется: $T = 2\pi$.
   • Область значений изменяется: так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-1 \cdot \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin x \le 1 \cdot \frac{1}{2}$. Таким образом, $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Амплитуда колебаний равна $\frac{1}{2}$.
   • Нули функции (точки пересечения с осью OX) остаются прежними, так как уравнение $\frac{1}{2}\sin x = 0$ эквивалентно $\sin x = 0$. Нули: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   • Ключевые точки для $y = \frac{1}{2}\sin x$:
     • $x=0, y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \implies (0, 0)$
     • $x=\frac{\pi}{2}, y = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \implies (\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2})$ (новый максимум)
     • $x=\pi, y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \implies (\pi, 0)$
     • $x=\frac{3\pi}{2}, y = \frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2} \implies (\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2})$ (новый минимум)
     • $x=2\pi, y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \implies (2\pi, 0)$
   Для построения графика сначала рисуют (например, пунктиром) синусоиду $y=\sin x$, а затем "сжимают" ее по вертикали, уменьшая все ординаты в два раза.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ — это синусоида, полученная из графика $y=\sin x$ сжатием вдоль оси OY в 2 раза. Амплитуда равна $\frac{1}{2}$, период $2\pi$, область значений $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

2) Для построения графика функции $y = \cos x - \frac{1}{2}$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение базового графика $y = \cos x$.
   Это стандартная косинусоида. Её основные свойства:
   • Период $T = 2\pi$.
   • Область значений $E(y) = [-1, 1]$.
   • Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$ (максимум), $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$ (минимум), $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.
2. Преобразование графика.
   График функции $y = \cos x - \frac{1}{2}$ получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси OY) на $\frac{1}{2}$ единицы вниз. Это преобразование вида $y = f(x) + c$ с константой $c = -\frac{1}{2}$. При таком преобразовании абсцисса ($x$) каждой точки графика остается неизменной, а из ординаты ($y$) вычитается $\frac{1}{2}$.
3. Анализ и построение итогового графика.
   • Период функции не меняется: $T = 2\pi$.
   • Область значений изменяется: так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-1 - \frac{1}{2} \le \cos x - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}$. Таким образом, $E(y) = [-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.
   • Нули функции находятся из уравнения $\cos x - \frac{1}{2} = 0$, то есть $\cos x = \frac{1}{2}$. Решения: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   • Ключевые точки для $y = \cos x - \frac{1}{2}$:
     • $x=0, y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies (0, \frac{1}{2})$ (новый максимум)
     • $x=\frac{\pi}{2}, y = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies (\frac{\pi}{2}, -\frac{1}{2})$
     • $x=\pi, y = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \implies (\pi, -\frac{3}{2})$ (новый минимум)
     • $x=\frac{3\pi}{2}, y = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies (\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2})$
     • $x=2\pi, y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies (2\pi, \frac{1}{2})$
   Для построения графика сначала рисуют косинусоиду $y=\cos x$, а затем сдвигают ее целиком на $\frac{1}{2}$ единицы вниз.

Ответ: График функции $y = \cos x - \frac{1}{2}$ — это косинусоида, полученная из графика $y=\cos x$ сдвигом вниз по оси OY на $\frac{1}{2}$. Период равен $2\pi$, область значений $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.

121. Расположить в порядке убывания числа:

1) $\text{tg } \frac{15\pi}{14}$, $\text{tg } \frac{\pi}{3}$, $\text{tg } \left(-\frac{6\pi}{7}\right)$;

2) $\text{tg } 3$, $\text{tg } 1,8$, $\text{tg } 2$, $\text{tg } 4,5$.

1) Для того чтобы расположить числа $tg\frac{15\pi}{14}$, $tg\frac{\pi}{3}$, $tg(-\frac{6\pi}{7})$ в порядке убывания, преобразуем их и сравним.

Сначала преобразуем каждое выражение, используя свойства функции тангенса:

• $tg\frac{15\pi}{14} = tg(\pi + \frac{\pi}{14}) = tg\frac{\pi}{14}$. Угол $\frac{\pi}{14}$ находится в первой четверти, значит $tg\frac{\pi}{14} > 0$.
• $tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Это известное положительное значение.
• $tg(-\frac{6\pi}{7}) = -tg\frac{6\pi}{7} = -tg(\pi - \frac{\pi}{7}) = -(-tg\frac{\pi}{7}) = tg\frac{\pi}{7}$. Угол $\frac{\pi}{7}$ находится в первой четверти, значит $tg\frac{\pi}{7} > 0$.

Теперь необходимо сравнить положительные значения: $tg\frac{\pi}{14}$, $tg\frac{\pi}{3}$ и $tg\frac{\pi}{7}$. Функция $y=tg(x)$ возрастает на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Сравним аргументы:
$\frac{\pi}{14} < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, значения тангенсов располагаются в том же порядке:
$tg\frac{\pi}{14} < tg\frac{\pi}{7} < tg\frac{\pi}{3}$.

Подставляя исходные выражения, получаем:
$tg\frac{15\pi}{14} < tg(-\frac{6\pi}{7}) < tg\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему) числа располагаются так: $tg\frac{\pi}{3}$, $tg(-\frac{6\pi}{7})$, $tg\frac{15\pi}{14}$.

Ответ: $tg\frac{\pi}{3}, tg(-\frac{6\pi}{7}), tg\frac{15\pi}{14}$.

2) Для того чтобы расположить числа $tg 3$, $tg 1.8$, $tg 2$, $tg 4.5$ в порядке убывания, определим четверти, в которых лежат углы, и знаки их тангенсов. Используем приближения: $\pi \approx 3,14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

• $\frac{\pi}{2} < 1.8 < \pi \implies$ угол 1.8 рад во II четверти, $tg 1.8 < 0$.
• $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi \implies$ угол 2 рад во II четверти, $tg 2 < 0$.
• $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi \implies$ угол 3 рад во II четверти, $tg 3 < 0$.
• $\pi < 4.5 < \frac{3\pi}{2} \implies$ угол 4.5 рад в III четверти, $tg 4.5 > 0$.

Единственное положительное значение — это $tg 4.5$, следовательно, оно является наибольшим.

Теперь сравним отрицательные значения: $tg 1.8$, $tg 2$ и $tg 3$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ функция $y=tg(x)$ возрастает. Аргументы $1.8, 2, 3$ принадлежат этому интервалу, и $1.8 < 2 < 3$.
Поэтому $tg 1.8 < tg 2 < tg 3$.

Собирая все вместе, получаем порядок возрастания: $tg 1.8 < tg 2 < tg 3 < tg 4.5$.

Таким образом, в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему) числа располагаются так: $tg 4,5$, $tg 3$, $tg 2$, $tg 1,8$.

Ответ: $tg 4,5, tg 3, tg 2, tg 1,8$.

122. Найти область определения функции:

1) $y=\operatorname{tg}\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$;

2) $y=\sqrt{\operatorname{tg} x}$.

1) Дана функция $y = \tg(2x + \frac{\pi}{6})$.

Область определения функции тангенс, $y = \tg(u)$, — это все действительные числа, кроме тех, в которых косинус равен нулю, так как $\tg(u) = \frac{\sin(u)}{\cos(u)}$. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, для данной функции аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$:

$2x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$2x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi k$

$2x \neq \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi k$

$2x \neq \frac{2\pi}{6} + \pi k$

$2x \neq \frac{\pi}{3} + \pi k$

Разделим обе части на 2:

$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$, $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $y = \sqrt{\tg x}$.

Область определения этой функции определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\tg x \ge 0$.

2. Тангенс должен быть определён, что означает, что его аргумент $x$ не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим неравенство $\tg x \ge 0$. Функция тангенса неотрицательна в первом и третьем квадрантах координатной окружности, включая точки, где тангенс равен нулю.

Тангенс равен нулю при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Тангенс положителен в интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два условия ($\tg x > 0$ и $\tg x = 0$), получаем, что $\tg x \ge 0$ при $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$.

В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ тангенс не определён, поэтому правая граница интервала является строгой (круглая скобка). В точках $x = \pi k$ тангенс равен 0, и корень из нуля определён, поэтому левая граница нестрогая (квадратная скобка).

Следовательно, область определения функции — это объединение всех таких интервалов.

Ответ: $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.