Номер 118, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 118, страница 43.

Условие.

118. Найти все принадлежащие промежутку $ [-2\pi; -\pi] $ решения неравенства:

1) $1 + 2 \cos x \ge 0;$

2) $1 - 2\sin x < 0;$

3) $2 + \operatorname{tg} x > 0;$

4) $1 - 2\operatorname{tg} x \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $1 + 2 \cos x \ge 0$ на промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

Сначала преобразуем неравенство:

$2 \cos x \ge -1$

$\cos x \ge -\frac{1}{2}$

Рассмотрим единичную окружность. Нам нужно найти углы $x$ в промежутке $[-2\pi, -\pi]$, для которых косинус (абсцисса точки на окружности) больше или равен $-\frac{1}{2}$.

Промежуток $x \in [-2\pi, -\pi]$ соответствует движению по единичной окружности против часовой стрелки от точки, соответствующей $0$ (и $-2\pi$), до точки, соответствующей $\pi$ (и $-\pi$). Это верхняя половина окружности.

На этом промежутке равенство $\cos x = -\frac{1}{2}$ достигается при $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$.

При $x=-2\pi$, $\cos(-2\pi) = 1$, что удовлетворяет условию $\cos x \ge -\frac{1}{2}$. По мере увеличения $x$ от $-2\pi$ до $-\frac{4\pi}{3}$, значение $\cos x$ убывает от $1$ до $-\frac{1}{2}$, оставаясь в пределах допустимых значений.

При $x > -\frac{4\pi}{3}$ (и вплоть до $-\pi$), значение $\cos x$ становится меньше, чем $-\frac{1}{2}$.

Следовательно, решением неравенства на заданном промежутке является $x \in [-2\pi, -\frac{4\pi}{3}]$.

Ответ: $x \in [-2\pi, -\frac{4\pi}{3}]$

2) Решим неравенство $1 - 2\sin x < 0$ на промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

Преобразуем неравенство:

$1 < 2\sin x$

$\sin x > \frac{1}{2}$

Ищем решения на промежутке $[-2\pi, -\pi]$. На этом промежутке, соответствующем верхней половине единичной окружности, синус (ордината точки на окружности) принимает значения от $0$ до $1$ и обратно до $0$.

Найдем значения $x$, для которых $\sin x = \frac{1}{2}$. В заданном промежутке это происходит в двух точках:

$x_1 = -2\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$

$x_2 = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$

Поскольку нам нужно, чтобы $\sin x$ был строго больше $\frac{1}{2}$, решением будет интервал между этими двумя точками.

Следовательно, решение неравенства на заданном промежутке — это $x \in (-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6})$.

Ответ: $x \in (-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6})$

3) Решим неравенство $2 + \operatorname{tg} x > 0$ на промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

Преобразуем неравенство:

$\operatorname{tg} x > -2$

Промежуток $[-2\pi, -\pi]$ содержит точку разрыва функции $\operatorname{tg} x$, которая равна $x = -\frac{3\pi}{2}$. Поэтому рассмотрим два подинтервала:

1. Для $x \in [-2\pi, -\frac{3\pi}{2})$. Этот интервал соответствует первой четверти на единичной окружности. Здесь $\operatorname{tg} x$ принимает значения от $0$ до $+\infty$. Любое неотрицательное число больше $-2$, поэтому неравенство $\operatorname{tg} x > -2$ выполняется для всех $x$ из этого интервала.

2. Для $x \in (-\frac{3\pi}{2}, -\pi]$. Этот интервал соответствует второй четверти. Здесь $\operatorname{tg} x$ принимает значения от $-\infty$ до $0$. Найдем точку, где $\operatorname{tg} x = -2$. Соответствующее значение угла в этом интервале: $x = \operatorname{arctg}(-2) - \pi = -\pi + \operatorname{arctg}(-2)$. Поскольку функция $\operatorname{tg} x$ возрастает на этом интервале, неравенство $\operatorname{tg} x > -2$ будет выполняться для $x > -\pi + \operatorname{arctg}(-2)$. Таким образом, получаем интервал $(-\pi + \operatorname{arctg}(-2), -\pi]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in [-2\pi, -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\pi + \operatorname{arctg}(-2), -\pi]$

4) Решим неравенство $1 - 2\operatorname{tg} x \le 0$ на промежутке $[-2\pi, -\pi]$.

Преобразуем неравенство:

$1 \le 2\operatorname{tg} x$

$\operatorname{tg} x \ge \frac{1}{2}$

Рассмотрим промежуток $[-2\pi, -\pi]$ с точкой разрыва тангенса $x = -\frac{3\pi}{2}$.

1. Для $x \in (-\frac{3\pi}{2}, -\pi]$. В этой области (соответствует второй четверти) $\operatorname{tg} x \le 0$. Поскольку $\frac{1}{2} > 0$, неравенство $\operatorname{tg} x \ge \frac{1}{2}$ на этом интервале решений не имеет.

2. Для $x \in [-2\pi, -\frac{3\pi}{2})$. В этой области (соответствует первой четверти) $\operatorname{tg} x \ge 0$. Найдем точку, где $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$. Соответствующее значение угла в этом интервале: $x = \operatorname{arctg}(\frac{1}{2}) - 2\pi = -2\pi + \operatorname{arctg}(\frac{1}{2})$. Поскольку функция $\operatorname{tg} x$ на этом интервале возрастает, неравенство $\operatorname{tg} x \ge \frac{1}{2}$ выполняется для всех $x$, больших или равных этому значению. Таким образом, получаем интервал $[-2\pi + \operatorname{arctg}(\frac{1}{2}), -\frac{3\pi}{2})$.

Это и является окончательным решением.

Ответ: $x \in [-2\pi + \operatorname{arctg}(\frac{1}{2}), -\frac{3\pi}{2})$