Номер 125, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Упражнения к главе I - номер 125, страница 44.

Условие.

125. Найти наименьший положительный период функции:

1) $y = 2\sin(2x + 1);$

2) $y = 3\tan \frac{1}{4}(x + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = A\sin(kx + b)$ используется общая формула $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — это наименьший положительный период основной (базовой) функции, а $k$ — коэффициент при переменной $x$.

В данном случае базовая функция — это $y = \sin(x)$. Ее наименьший положительный период составляет $T_0 = 2\pi$.

В нашей функции $y = 2\sin(2x + 1)$ коэффициент при $x$ равен $k = 2$. Коэффициент $A=2$ (амплитуда) и сдвиг по фазе, определяемый слагаемым $1$, не влияют на величину периода.

Подставим известные значения в формулу для нахождения периода:
$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$

2) Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = A\tan(kx + b)$ применяется та же формула: $T = \frac{T_0}{|k|}$.

Базовой функцией здесь является $y = \tan(x)$. Ее наименьший положительный период равен $T_0 = \pi$.

В нашей функции $y = 3\tan\frac{1}{4}(x + 1)$ раскроем скобки в аргументе, чтобы явно увидеть коэффициент $k$: $y = 3\tan(\frac{1}{4}x + \frac{1}{4})$. Таким образом, коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{4}$.

Теперь вычислим период, подставив значения в формулу:
$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|\frac{1}{4}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{4}} = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$