Номер 122, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 122, страница 43.

Условие.

122. Найти область определения функции:

1) $y=\operatorname{tg}\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$;

2) $y=\sqrt{\operatorname{tg} x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $y = \tg(2x + \frac{\pi}{6})$.

Область определения функции тангенс, $y = \tg(u)$, — это все действительные числа, кроме тех, в которых косинус равен нулю, так как $\tg(u) = \frac{\sin(u)}{\cos(u)}$. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, для данной функции аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$:

$2x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$2x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi k$

$2x \neq \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi k$

$2x \neq \frac{2\pi}{6} + \pi k$

$2x \neq \frac{\pi}{3} + \pi k$

Разделим обе части на 2:

$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$, $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

---

2) Дана функция $y = \sqrt{\tg x}$.

Область определения этой функции определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\tg x \ge 0$.

2. Тангенс должен быть определён, что означает, что его аргумент $x$ не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим неравенство $\tg x \ge 0$. Функция тангенса неотрицательна в первом и третьем квадрантах координатной окружности, включая точки, где тангенс равен нулю.

Тангенс равен нулю при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Тангенс положителен в интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два условия ($\tg x > 0$ и $\tg x = 0$), получаем, что $\tg x \ge 0$ при $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$.

В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ тангенс не определён, поэтому правая граница интервала является строгой (круглая скобка). В точках $x = \pi k$ тангенс равен 0, и корень из нуля определён, поэтому левая граница нестрогая (квадратная скобка).

Следовательно, область определения функции — это объединение всех таких интервалов.

Ответ: $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.