Номер 117, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 117, страница 43.

Условие.

117. Найти принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$ корни уравнения:

1) $2\cos x + \sqrt{3} = 0;$

2) $\sqrt{3} - \sin x = \sin x;$

3) $3\operatorname{tg} x = \sqrt{3};$

4) $\cos x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) 2cos x + √3 = 0;

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $\cos x$:
$2\cos x = -\sqrt{3}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:
$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то общее решение:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Это дает две серии корней:
1. $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
2. $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$.
Для первой серии:
При $k=0$: $x = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток, так как $0 \le \frac{5\pi}{6} \le 3\pi$.
При $k=1$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток, так как $\frac{17}{6} \approx 2.83$, что меньше 3.
При $k=2$: $x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{29}{6} > 3$.
Для второй серии:
При $k=0$: $x = -\frac{5\pi}{6}$. Не входит в промежуток.
При $k=1$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток, так как $0 \le \frac{7\pi}{6} \le 3\pi$.
При $k=2$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{19}{6} > 3$.
Таким образом, мы нашли три корня, принадлежащих заданному промежутку.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}$.

2) √3 - sin x = sin x;

Преобразуем уравнение:
$\sqrt{3} = \sin x + \sin x$
$\sqrt{3} = 2\sin x$
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение этого уравнения:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то
$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим две серии корней (для четных и нечетных $k$):
1. Если $k=2n$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
2. Если $k=2n+1$: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi(2n+1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Выберем корни из промежутка $[0; 3\pi]$.
Для первой серии:
При $n=0$: $x = \frac{\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку ($7/3 \approx 2.33 < 3$).
Для второй серии:
При $n=0$: $x = \frac{2\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку.
При $n=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Корень принадлежит промежутку ($8/3 \approx 2.67 < 3$).
Следующие значения $n$ дадут корни за пределами промежутка.

Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.

3) 3tg x = √3;

Выразим $\tg x$ из уравнения:
$\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Общее решение данного уравнения:
$x = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$. Для этого решим неравенство:
$0 \le \frac{\pi}{6} + \pi k \le 3\pi$
Разделим все части на $\pi$:
$0 \le \frac{1}{6} + k \le 3$
Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:
$-\frac{1}{6} \le k \le 3 - \frac{1}{6}$
$-\frac{1}{6} \le k \le \frac{17}{6}$
Так как $k$ — целое число, то $k$ может принимать значения $0, 1, 2$.
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{6}$.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.
При $k=2$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$.

4) cos x + 1 = 0.

Преобразуем уравнение:
$\cos x = -1$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Его общее решение:
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни из промежутка $[0; 3\pi]$.
$0 \le \pi + 2\pi k \le 3\pi$
Разделим все части на $\pi$:
$0 \le 1 + 2k \le 3$
Вычтем 1 из всех частей:
$-1 \le 2k \le 2$
Разделим все части на 2:
$-0.5 \le k \le 1$
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $0, 1$.
При $k=0$: $x = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$.
При $k=1$: $x = \pi + 2\pi \cdot 1 = 3\pi$.
Оба корня принадлежат промежутку $[0; 3\pi]$.

Ответ: $\pi, 3\pi$.