Номер 112, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Упражнения к главе I - номер 112, страница 42.

Условие.

112. Сравнить числа:

1) $ \sin 1 $ и $ \cos 2 $;

2) $ \sin (-1) $ и $ \cos 1 $;

3) $ \sin 3,5 $ и $ \operatorname{tg} 3,5 $;

4) $ \cos 3 $ и $ \operatorname{tg} 4 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) sin 1 и cos 2;

Для сравнения чисел sin 1 и cos 2 определим знаки этих тригонометрических функций. Аргументы функций, 1 и 2, даны в радианах.

Воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3,14$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.

Определим, в какой четверти находится угол в 1 радиан. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол в 1 радиан принадлежит I четверти. В этой четверти синус положителен, следовательно, $\sin 1 > 0$.

Определим, в какой четверти находится угол в 2 радиана. Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ (то есть $1,57 < 2 < 3,14$), угол в 2 радиана принадлежит II четверти. В этой четверти косинус отрицателен, следовательно, $\cos 2 < 0$.

Сравнивая положительное число $\sin 1$ и отрицательное число $\cos 2$, заключаем, что любое положительное число больше любого отрицательного.

Ответ: $\sin 1 > \cos 2$.

2) sin(-1) и cos 1;

Сравним числа sin(-1) и cos 1.

Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому $\sin(-1) = -\sin 1$.

Как мы установили ранее, угол в 1 радиан находится в I четверти. В I четверти синус положителен ($\sin 1 > 0$), значит, $-\sin 1$ является отрицательным числом. Таким образом, $\sin(-1) < 0$.

Косинус в I четверти также положителен, поэтому $\cos 1 > 0$.

Сравнивая отрицательное число $\sin(-1)$ и положительное число $\cos 1$, получаем, что $\sin(-1) < \cos 1$.

Ответ: $\sin(-1) < \cos 1$.

3) sin 3,5 и tg 3,5;

Для сравнения чисел sin 3,5 и tg 3,5 определим, в какой четверти находится угол в 3,5 радиана, и каковы знаки функций в этой четверти.

Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

Так как $\pi < 3.5 < \frac{3\pi}{2}$ (то есть $3,14 < 3,5 < 4,71$), угол в 3,5 радиана находится в III четверти.

В III четверти синус отрицателен, следовательно, $\sin 3.5 < 0$.

В III четверти тангенс положителен, следовательно, $\operatorname{tg} 3.5 > 0$.

Сравнивая отрицательное число sin 3,5 и положительное число tg 3,5, приходим к выводу, что $\sin 3.5 < \operatorname{tg} 3.5$.

Ответ: $\sin 3.5 < \operatorname{tg} 3.5$.

4) cos 3 и tg 4.

Сравним числа cos 3 и tg 4, определив их знаки.

Используем приближенные значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

Для угла в 3 радиана имеем: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (то есть $1,57 < 3 < 3,14$). Этот угол находится во II четверти, где косинус отрицателен: $\cos 3 < 0$.

Для угла в 4 радиана имеем: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (то есть $3,14 < 4 < 4,71$). Этот угол находится в III четверти, где тангенс положителен: $\operatorname{tg} 4 > 0$.

Сравнивая отрицательное число cos 3 и положительное число tg 4, заключаем, что $\cos 3 < \operatorname{tg} 4$.

Ответ: $\cos 3 < \operatorname{tg} 4$.