Номер 115, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 115, страница 43.

Условие.

115. С помощью графика функции $y = \cos x$ найти такие значения $x$ из заданного промежутка, при которых справедливо равенство:

1) $\cos x = -\frac{1}{2}$, $[ -\frac{\pi}{2}; \pi ]$;

2) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $[ -\frac{3\pi}{2}; 0 ]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти значения $x$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$, при которых справедливо равенство $\cos x = -\frac{1}{2}$, необходимо найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = \cos x$ и прямой $y = -\frac{1}{2}$ на данном промежутке.

Построим график функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. На этом отрезке косинусоида проходит через точки $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\pi, -1)$. Прямая $y = -\frac{1}{2}$ — это горизонтальная линия, проходящая ниже оси абсцисс.

Графически видно, что на интервале $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ значения косинуса неотрицательны, поэтому пересечений с прямой $y = -\frac{1}{2}$ здесь нет. Пересечение происходит на интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi]$, где значения косинуса отрицательны. В этом интервале существует только одна точка пересечения.

Абсцисса этой точки — это корень уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$. Используя определение арккосинуса, находим $x = \arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Убедимся, что найденное значение $x = \frac{2\pi}{3}$ принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Это действительно так, поскольку $-\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3}$.

2) Чтобы найти значения $x$ из промежутка $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$, при которых справедливо равенство $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, необходимо найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = \cos x$ и прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на данном промежутке.

Построим график функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$. На этом отрезке косинусоида проходит через точки $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(-\pi, -1)$, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(0, 1)$. Прямая $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — это горизонтальная линия, проходящая выше оси абсцисс (так как $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$).

Графически видно, что на интервале $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$ значения косинуса неположительны, поэтому пересечений с прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ здесь нет. Пересечение происходит на интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0]$, где значения косинуса положительны. В этом интервале существует только одна точка пересечения.

Абсцисса этой точки — это корень уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее решение этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.

Нам необходимо выбрать из этих решений то, которое принадлежит промежутку $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$.
Из серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ ни одно решение не входит в заданный промежуток (при $k=0$ $x>0$, при $k<0$ $x < -\frac{3\pi}{2}$).
Из серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ при $k=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{4}$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \le 0$. Другие значения $k$ дают решения вне этого промежутка.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4}$.