Номер 113, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Упражнения к главе I - номер 113, страница 42.

Условие.

113. Выяснить, какая из функций $y = \sin x$ или $y = \cos x$ является убывающей на промежутке:

1) $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$;

2) $[0; \frac{\pi}{2}]$;

3) $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$;

4) $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения промежутков убывания функции воспользуемся производной. Функция $y=f(x)$ убывает на некотором интервале, если её производная $f'(x)$ на этом интервале неположительна ($f'(x) \le 0$).

Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$.

Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$.

Проанализируем каждую функцию на заданных промежутках.

1) Промежуток $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$ (третья координатная четверть).

• Для функции $y = \sin x$: производная $y' = \cos x$. В третьей четверти $\cos x \le 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ убывает на этом промежутке.
• Для функции $y = \cos x$: производная $y' = -\sin x$. В третьей четверти $\sin x \le 0$, поэтому $-\sin x \ge 0$. Следовательно, функция $y = \cos x$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: $y = \sin x$.

2) Промежуток $[0; \frac{\pi}{2}]$ (первая координатная четверть).

• Для функции $y = \sin x$: производная $y' = \cos x$. В первой четверти $\cos x \ge 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает на этом промежутке.
• Для функции $y = \cos x$: производная $y' = -\sin x$. В первой четверти $\sin x \ge 0$, поэтому $-\sin x \le 0$. Следовательно, функция $y = \cos x$ убывает на этом промежутке.

Ответ: $y = \cos x$.

3) Промежуток $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ (третья координатная четверть).

• Для функции $y = \sin x$: производная $y' = \cos x$. В третьей четверти (углы от $-\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$) $\cos x \le 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ убывает на этом промежутке.
• Для функции $y = \cos x$: производная $y' = -\sin x$. В третьей четверти $\sin x \le 0$, поэтому $-\sin x \ge 0$. Следовательно, функция $y = \cos x$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: $y = \sin x$.

4) Промежуток $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ (вторая координатная четверть).

• Для функции $y = \sin x$: производная $y' = \cos x$. Во второй четверти $\cos x \le 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ убывает на этом промежутке.
• Для функции $y = \cos x$: производная $y' = -\sin x$. Во второй четверти $\sin x \ge 0$, поэтому $-\sin x \le 0$. Следовательно, функция $y = \cos x$ также убывает на этом промежутке.

Ответ: Обе функции, $y = \sin x$ и $y = \cos x$.