Страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

103. Построить график функции:

1) $y = \arcsin(2x + 3);$

2) $y = 2\arccos(x - 1);$

3) $y = \mathrm{arcctg}x;$

4) $y = \mathrm{arcctg}(x + 1).$

1) $y = \arcsin(2x + 3)$;

Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y_0 = \arcsin t$.

Сначала найдем область определения функции. Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от $-1$ до $1$ включительно:
$-1 \le 2x + 3 \le 1$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-1 - 3 \le 2x \le 1 - 3$
$-4 \le 2x \le -2$
Разделим все части на 2:
$-2 \le x \le -1$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2, -1]$.

Область значений функции $y = \arcsin(2x + 3)$ совпадает с областью значений стандартной функции арксинуса, так как преобразования затрагивают только аргумент.
Следовательно, область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Построение графика можно выполнить путем следующих последовательных преобразований графика $y = \arcsin x$:
1. Сжатие графика $y = \arcsin x$ по горизонтали (к оси OY) в 2 раза. Получим график функции $y = \arcsin(2x)$.
2. Сдвиг полученного графика влево вдоль оси OX на $1.5$ единицы. Получим искомый график $y = \arcsin(2(x + 1.5)) = \arcsin(2x + 3)$.

Найдем ключевые точки графика:
- Левая граничная точка: при $x = -2$, $y = \arcsin(2(-2) + 3) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(-2, -\frac{\pi}{2})$.
- Правая граничная точка: при $x = -1$, $y = \arcsin(2(-1) + 3) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$. Точка $(-1, \frac{\pi}{2})$.
- Точка пересечения с осью OX (в данном случае, "центр" симметрии на отрезке): при $y = 0$, $\arcsin(2x+3) = 0$, значит $2x+3 = 0$, откуда $x = -1.5$. Точка $(-1.5, 0)$.

Ответ: График функции $y = \arcsin(2x + 3)$ есть часть кривой арксинуса, расположенная на отрезке $x \in [-2, -1]$ с областью значений $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

2) $y = 2\arccos(x - 1)$;

Построение этого графика выполним путем преобразования базового графика $y_0 = \arccos t$.

Найдем область определения функции. Аргумент арккосинуса должен лежать в пределах от $-1$ до $1$:
$-1 \le x - 1 \le 1$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$0 \le x \le 2$
Область определения функции $D(y) = [0, 2]$.

Теперь найдем область значений. Область значений стандартной функции $y = \arccos t$ есть отрезок $[0, \pi]$. Так как наша функция умножается на 2, то ее область значений будет:
$E(y) = [2 \cdot 0, 2 \cdot \pi] = [0, 2\pi]$.

График строится следующими преобразованиями графика $y = \arccos x$:
1. Сдвиг графика $y = \arccos x$ вправо вдоль оси OX на 1 единицу. Получим график $y = \arccos(x - 1)$.
2. Растяжение полученного графика по вертикали (от оси OX) в 2 раза. Получим искомый график $y = 2\arccos(x - 1)$.

Ключевые точки графика:
- Левая граничная точка: при $x = 0$, $y = 2\arccos(0 - 1) = 2\arccos(-1) = 2\pi$. Точка $(0, 2\pi)$.
- Правая граничная точка: при $x = 2$, $y = 2\arccos(2 - 1) = 2\arccos(1) = 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(2, 0)$.
- "Центральная" точка: при $x = 1$, $y = 2\arccos(1 - 1) = 2\arccos(0) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$. Точка $(1, \pi)$.

Ответ: График функции $y = 2\arccos(x - 1)$ — это график $y = \arccos x$, сдвинутый на 1 единицу вправо и растянутый в 2 раза по вертикали. Область определения: $x \in [0, 2]$. Область значений: $y \in [0, 2\pi]$.

3) $y = \operatorname{arcctg} x$;

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ (арккотангенс) является стандартной функцией, обратной к функции $x = \operatorname{ctg} y$ на интервале $y \in (0, \pi)$.

Основные свойства и характеристики графика:
- Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0, \pi)$.
- Функция является убывающей на всей области определения.
- График имеет две горизонтальные асимптоты:

• $y = \pi$ при $x \to -\infty$
• $y = 0$ при $x \to +\infty$

Ключевые точки для построения:
- При $x=0$, $y = \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0, \frac{\pi}{2})$.
- При $x=1$, $y = \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Точка $(1, \frac{\pi}{4})$.
- При $x=-1$, $y = \operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$. Точка $(-1, \frac{3\pi}{4})$.

График представляет собой плавно убывающую кривую, которая "сверху" ограничена асимптотой $y=\pi$ и "снизу" — асимптотой $y=0$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — это стандартная кривая арккотангенса с областью определения $(-\infty, +\infty)$, областью значений $(0, \pi)$ и горизонтальными асимптотами $y=0$ и $y=\pi$.

4) $y = \operatorname{arcctg}(x + 1)$.

Для построения графика функции $y = \operatorname{arcctg}(x + 1)$ воспользуемся графиком функции $y = \operatorname{arcctg} x$ из предыдущего пункта.

Данная функция получается из $y = \operatorname{arcctg} x$ путем сдвига графика влево вдоль оси OX на 1 единицу.

Основные свойства функции $y = \operatorname{arcctg}(x + 1)$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$ (не изменяется при горизонтальном сдвиге).
- Область значений: $E(y) = (0, \pi)$ (не изменяется при горизонтальном сдвиге).
- Горизонтальные асимптоты остаются прежними: $y = \pi$ при $x \to -\infty$ и $y = 0$ при $x \to +\infty$.

Ключевые точки смещаются на 1 влево:
- Точка $(0, \frac{\pi}{2})$ смещается в точку $(-1, \frac{\pi}{2})$. Проверка: $y = \operatorname{arcctg}(-1 + 1) = \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$.
- Точка $(1, \frac{\pi}{4})$ смещается в точку $(0, \frac{\pi}{4})$. Проверка: $y = \operatorname{arcctg}(0 + 1) = \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
- Точка $(-1, \frac{3\pi}{4})$ смещается в точку $(-2, \frac{3\pi}{4})$. Проверка: $y = \operatorname{arcctg}(-2 + 1) = \operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{arcctg}(x + 1)$ получается сдвигом графика $y = \operatorname{arcctg} x$ на 1 единицу влево. Все основные свойства, кроме положения точек, сохраняются.

104. Доказать, что $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $.

Для доказательства тождества $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ необходимо показать, что оно выполняется для всех $x$ из общей области определения функций $\arcsin x$ и $\arccos x$, то есть для $x \in [-1, 1]$. Рассмотрим два способа доказательства.

Способ 1: Тригонометрический

1. Обозначим $\alpha = \arcsin x$. Согласно определению арксинуса, это значит, что $\sin \alpha = x$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

2. Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Подставив в нее $\sin \alpha = x$, получаем $x = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

3. Чтобы данное равенство означало, что $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, необходимо убедиться, что угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в области значений арккосинуса, то есть в отрезке $[0, \pi]$.
Исходя из неравенства $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, выполним преобразования:
умножим на -1: $\frac{\pi}{2} \ge -\alpha \ge -\frac{\pi}{2}$;
прибавим $\frac{\pi}{2}$: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \ge \frac{\pi}{2} - \alpha \ge \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$;
получаем: $\pi \ge \frac{\pi}{2} - \alpha \ge 0$.
Условие выполняется, так как $(\frac{\pi}{2} - \alpha) \in [0, \pi]$.

4. Из равенства $x = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ и условия $(\frac{\pi}{2} - \alpha) \in [0, \pi]$ по определению арккосинуса следует, что $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

5. Заменив $\alpha$ обратно на $\arcsin x$, получаем: $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$.

6. Переносим $\arcsin x$ в левую часть и получаем доказываемое тождество:
$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.

Способ 2: С помощью производной

1. Введем функцию $f(x) = \arcsin x + \arccos x$, которая определена на отрезке $[-1, 1]$.

2. Найдем ее производную на интервале $(-1, 1)$:
$f'(x) = (\arcsin x)' + (\arccos x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$.

3. Поскольку производная функции $f(x)$ равна нулю для любого $x \in (-1, 1)$, функция $f(x)$ является постоянной на этом интервале, то есть $f(x) = C$.

4. Для нахождения константы $C$ вычислим значение функции в любой точке интервала, например, при $x = 0$:
$C = f(0) = \arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

5. Таким образом, мы установили, что $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ для всех $x \in (-1, 1)$.

6. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[-1, 1]$, равенство сохраняется и на его концах. Проверим это прямой подстановкой:
При $x = 1$: $\arcsin 1 + \arccos 1 = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
При $x = -1$: $\arcsin(-1) + \arccos(-1) = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, тождество верно для всех $x \in [-1, 1]$.

Ответ: тождество $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ доказано.

105. Доказать, что $ \arccos(-x) = \pi - \arccos x $.

Для доказательства тождества $ \arccos(-x) = \pi - \arccos x $ необходимо показать, что это равенство выполняется для всех $x$ из области определения функции арккосинус, то есть для $x \in [-1, 1]$.

Введем обозначение: пусть $ y = \arccos(-x) $.

Согласно определению арккосинуса, это равенство означает, что одновременно выполняются два условия: 1) $ \cos(y) = -x $ и 2) $ 0 \le y \le \pi $.

Из первого условия выразим $x$: $ x = -\cos(y) $.

Воспользуемся известной тригонометрической формулой приведения: $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $. Применив ее к нашему выражению для $x$, получим:

$ x = \cos(\pi - y) $

Теперь возьмем арккосинус от обеих частей этого равенства:

$ \arccos(x) = \arccos(\cos(\pi - y)) $

По определению, $ \arccos(\cos(\alpha)) = \alpha $ только в том случае, если $ \alpha $ принадлежит основному промежутку для арккосинуса, то есть $ \alpha \in [0, \pi] $. Проверим, выполняется ли это условие для нашего случая, где $ \alpha = \pi - y $.

Из условия (2) мы знаем, что $ 0 \le y \le \pi $.

Умножим это двойное неравенство на $-1$. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$ -\pi \le -y \le 0 $

Теперь прибавим $ \pi $ ко всем частям неравенства:

$ \pi - \pi \le \pi - y \le \pi + 0 $

Упростив, получаем:

$ 0 \le \pi - y \le \pi $

Это означает, что выражение $ \pi - y $ находится в требуемом промежутке $ [0, \pi] $. Следовательно, мы можем упростить равенство:

$ \arccos(\cos(\pi - y)) = \pi - y $

Таким образом, наше уравнение $ \arccos(x) = \arccos(\cos(\pi - y)) $ принимает вид:

$ \arccos(x) = \pi - y $

Теперь выразим из этого уравнения $y$:

$ y = \pi - \arccos(x) $

В самом начале мы сделали замену $ y = \arccos(-x) $. Подставив это значение обратно, мы получаем искомое тождество:

$ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Для доказательства тождества $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $ введем обозначение $ y = \arccos(-x) $. По определению арккосинуса, это эквивалентно системе: $ \begin{cases} \cos(y) = -x \\ 0 \le y \le \pi \end{cases} $. Из первого уравнения следует $ x = -\cos(y) $. Используя формулу приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем $ x = \cos(\pi - y) $. Отсюда $ \arccos(x) = \arccos(\cos(\pi - y)) $. Проверим, что выражение $ \pi - y $ принадлежит области значений арккосинуса, то есть отрезку $ [0, \pi] $. Так как $ 0 \le y \le \pi $, то $ -\pi \le -y \le 0 $, и, прибавив $ \pi $, получим $ 0 \le \pi - y \le \pi $. Условие выполняется, следовательно, $ \arccos(\cos(\pi - y)) = \pi - y $. Таким образом, мы имеем $ \arccos(x) = \pi - y $. Заменяя $ y $ на $ \arccos(-x) $, получаем $ \arccos(x) = \pi - \arccos(-x) $, что эквивалентно доказываемому тождеству $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.

106. Построить график функции:

1) $y = \arccos (\cos x)$;

2) $y = \arcsin (\cos x)$.

Рассмотрим функцию $y = \arccos(\cos x)$.

Область определения и область значений

Функция $\cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, а ее область значений — отрезок $[-1, 1]$. Функция $\arccos(t)$ определена для $t \in [-1, 1]$. Следовательно, область определения функции $y = \arccos(\cos x)$ — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений функции $\arccos(t)$ — это отрезок $[0, \pi]$. Таким образом, область значений нашей функции $E(y) = [0, \pi]$.

Периодичность и четность

Функция $\cos x$ является периодической с основным периодом $2\pi$. Проверим периодичность данной функции:

$y(x + 2\pi) = \arccos(\cos(x + 2\pi)) = \arccos(\cos x) = y(x)$.

Следовательно, функция $y = \arccos(\cos x)$ является периодической с периодом $T = 2\pi$. Это позволяет нам построить график на отрезке длиной $2\pi$, например на $[0, 2\pi]$, а затем продолжить его на всю числовую прямую.

Проверим функцию на четность:

$y(-x) = \arccos(\cos(-x)) = \arccos(\cos x) = y(x)$.

Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Построение графика на основном периоде

Рассмотрим поведение функции на отрезке $[0, \pi]$. По определению арккосинуса, $\arccos(t)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $t$. Если $x \in [0, \pi]$, то $x$ как раз является таким углом. Таким образом, для $x \in [0, \pi]$ имеем:

$y = \arccos(\cos x) = x$.

Это отрезок прямой линии, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(\pi, \pi)$.

Теперь рассмотрим поведение функции на отрезке $[\pi, 2\pi]$. Воспользуемся свойством косинуса $\cos x = \cos(2\pi - x)$. Если $x \in [\pi, 2\pi]$, то $2\pi - x \in [0, \pi]$. Так как значение $2\pi - x$ попадает в область значений арккосинуса, мы можем написать:

$y = \arccos(\cos x) = \arccos(\cos(2\pi - x)) = 2\pi - x$.

Это отрезок прямой линии, соединяющий точки $(\pi, \pi)$ и $(2\pi, 0)$.

Итак, на отрезке $[0, 2\pi]$ график состоит из двух отрезков, образующих "треугольник" с вершинами в точках $(0, 0)$, $(\pi, \pi)$ и $(2\pi, 0)$.

Так как функция периодическая с периодом $2\pi$, мы можем повторить этот "треугольный" мотив вдоль всей оси OX. График функции представляет собой треугольную волну.

График функции

График функции $y=\arccos(\cos x)$ представляет собой ломаную линию. Он состоит из повторяющихся фрагментов. Каждый фрагмент на отрезке $[2k\pi, 2(k+1)\pi]$ (где $k$ — целое число) представляет собой треугольник с вершинами в точках $(2k\pi, 0)$, $((2k+1)\pi, \pi)$ и $(2(k+1)\pi, 0)$.

Ответ: График функции $y = \arccos(\cos x)$ является периодической ломаной линией (треугольная волна) с периодом $2\pi$ и областью значений $[0, \pi]$. На отрезке $[0, \pi]$ график совпадает с прямой $y=x$, а на отрезке $[\pi, 2\pi]$ — с прямой $y = 2\pi - x$. В общем виде, $y(x) = x - 2k\pi$ при $x \in [2k\pi, (2k+1)\pi]$ и $y(x) = (2k+2)\pi - x$ при $x \in [(2k+1)\pi, (2k+2)\pi]$ для любого целого $k$.

Рассмотрим функцию $y = \arcsin(\cos x)$.

Область определения и область значений

Как и в предыдущем случае, область определения функции $\cos x$ — это $\mathbb{R}$, а область значений — $[-1, 1]$. Область определения $\arcsin(t)$ — это $[-1, 1]$. Таким образом, область определения функции $y = \arcsin(\cos x)$ — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений функции $\arcsin(t)$ — это отрезок $[-\pi/2, \pi/2]$. Следовательно, область значений нашей функции $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.

Периодичность и четность

Функция $\cos x$ периодична с периодом $2\pi$.

$y(x + 2\pi) = \arcsin(\cos(x + 2\pi)) = \arcsin(\cos x) = y(x)$.

Функция $y = \arcsin(\cos x)$ является периодической с периодом $T = 2\pi$.

Проверим на четность:

$y(-x) = \arcsin(\cos(-x)) = \arcsin(\cos x) = y(x)$.

Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

Построение графика

Для построения графика можно воспользоваться тригонометрическим тождеством. Есть два основных подхода.

Подход 1: Использование тождества $\arcsin(t) + \arccos(t) = \pi/2$.

Из этого тождества следует, что $\arcsin(\cos x) = \pi/2 - \arccos(\cos x)$.

Это означает, что график функции $y = \arcsin(\cos x)$ можно получить из графика функции $y = \arccos(\cos x)$ (построенного в пункте 1) следующими преобразованиями:

1. Отразить график $y = \arccos(\cos x)$ симметрично относительно оси OX, чтобы получить график $y = -\arccos(\cos x)$.
2. Сдвинуть полученный график вверх на $\pi/2$.

График $y=\arccos(\cos x)$ — это треугольная волна с вершинами "вверху" в точках $((2k+1)\pi, \pi)$ и "внизу" в точках $(2k\pi, 0)$. После отражения вершины окажутся в $((2k+1)\pi, -\pi)$ и $(2k\pi, 0)$. После сдвига вверх на $\pi/2$ вершины окажутся в точках $((2k+1)\pi, -\pi/2)$ и $(2k\pi, \pi/2)$.

Подход 2: Использование формулы приведения $\cos x = \sin(\pi/2 - x)$.

Подставим это в нашу функцию:

$y = \arcsin(\cos x) = \arcsin(\sin(\pi/2 - x))$.

Пусть $u = \pi/2 - x$. Рассмотрим функцию $y = \arcsin(\sin u)$. По определению, для $u \in [-\pi/2, \pi/2]$ имеем $\arcsin(\sin u) = u$.

Найдем, при каких значениях $x$ переменная $u$ попадает в этот отрезок:

$-\pi/2 \le \pi/2 - x \le \pi/2 \implies -\pi \le -x \le 0 \implies 0 \le x \le \pi$.

Следовательно, для $x \in [0, \pi]$, имеем $y = u = \pi/2 - x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, \pi/2)$ и $(\pi, -\pi/2)$.

Так как функция четная, то для $x \in [-\pi, 0]$ график будет симметричен графику на $[0, \pi]$ относительно оси OY. То есть, для $x \in [-\pi, 0]$ имеем $y(x) = y(-x) = \pi/2 - (-x) = \pi/2 + x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-\pi, -\pi/2)$ и $(0, \pi/2)$.

На отрезке $[-\pi, \pi]$ график представляет собой "треугольник" с вершинами в точках $(-\pi, -\pi/2)$, $(0, \pi/2)$ и $(\pi, -\pi/2)$. В силу периодичности с периодом $2\pi$, этот мотив повторяется вдоль всей оси OX.

График функции

График функции $y=\arcsin(\cos x)$ представляет собой ломаную линию. Он состоит из повторяющихся фрагментов. Каждый фрагмент на отрезке $[(2k-1)\pi, (2k+1)\pi]$ (где $k$ — целое число) представляет собой треугольник с вершинами в точках $((2k-1)\pi, -\pi/2)$, $(2k\pi, \pi/2)$ и $((2k+1)\pi, -\pi/2)$.

Ответ: График функции $y = \arcsin(\cos x)$ является периодической ломаной линией (треугольная волна) с периодом $2\pi$ и областью значений $[-\pi/2, \pi/2]$. На отрезке $[0, \pi]$ график совпадает с прямой $y = \pi/2 - x$, а на отрезке $[-\pi, 0]$ — с прямой $y = \pi/2 + x$. В общем виде, $y(x) = -x + 2k\pi + \pi/2$ при $x \in [2k\pi, (2k+1)\pi]$ и $y(x) = x - 2k\pi + \pi/2$ при $x \in [(2k-1)\pi, 2k\pi]$ для любого целого $k$.

107. Найти функцию, обратную к функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; 0]$.

Для того чтобы найти функцию, обратную к функции $y = \cos x$ на заданном отрезке $[-\pi; 0]$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Проверка на монотонность. Функция имеет обратную на некотором промежутке, если она на этом промежутке строго монотонна (то есть только возрастает или только убывает). Найдем производную функции $y = \cos x$: $y' = (\cos x)' = -\sin x$ На интервале $(-\pi; 0)$ функция $\sin x$ принимает отрицательные значения (т.е. $\sin x < 0$). Следовательно, производная $y' = -\sin x$ на этом интервале положительна ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = \cos x$ строго возрастает на отрезке $[-\pi; 0]$, и, следовательно, обратная функция на этом отрезке существует.

2. Определение области определения и области значений. Для исходной функции $y = \cos x$:

• Область определения задана условием: $D(y) = [-\pi; 0]$.
• Область значений $E(y)$ найдем, подставив граничные значения отрезка, так как функция монотонна:
  при $x = -\pi$, $y = \cos(-\pi) = -1$
  при $x = 0$, $y = \cos(0) = 1$
  Таким образом, область значений исходной функции: $E(y) = [-1; 1]$.

Для обратной функции область определения и область значений меняются местами. То есть для обратной функции область определения будет $[-1; 1]$, а область значений — $[-\pi; 0]$.

3. Нахождение выражения для обратной функции. Из уравнения $y = \cos x$ нам нужно выразить $x$ через $y$. Стандартная функция арккосинус, $x = \arccos y$, по определению имеет область значений $[0; \pi]$. Нам же нужно, чтобы $x$ принадлежал отрезку $[-\pi; 0]$.

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(x) = \cos(-x)$. Так как $x \in [-\pi; 0]$, то $-x \in [0; \pi]$. Наше уравнение $y = \cos x$ можно переписать как $y = \cos(-x)$. Теперь, так как аргумент $(-x)$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, мы можем применить к этому уравнению стандартную функцию арккосинус: $-x = \arccos y$ Выразим отсюда $x$: $x = -\arccos y$

Полученное выражение $x = -\arccos y$ и есть искомая обратная зависимость. По традиции, при записи функции независимую переменную обозначают через $x$, а зависимую — через $y$. Поменяв переменные местами, получаем вид обратной функции: $y = -\arccos x$

Проверим область значений этой функции. Область значений функции $\arccos x$ — это $[0; \pi]$. Следовательно, область значений функции $-\arccos x$ — это $[-\pi; 0]$, что соответствует нашим требованиям.

Ответ: $y = -\arccos x$.

108. Найти область определения функции:

1) $y = \sin x + \cos x$;

2) $y = \sin x + \operatorname{tg} x$;

3) $y = \sqrt{\sin x}$;

4) $y = \sqrt{\cos x}$;

5) $y = \frac{2x}{2\sin x - 1}$;

6) $y = \frac{\cos x}{2\sin^2 x - \sin x}$.

1) Область определения функции $y = \sin x + \cos x$. Функция $y = \sin x$ определена для всех действительных чисел, то есть $x \in \mathbb{R}$. Функция $y = \cos x$ также определена для всех действительных чисел, то есть $x \in \mathbb{R}$. Область определения суммы двух функций является пересечением их областей определения. Пересечением множеств $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}$ является множество $\mathbb{R}$. Следовательно, функция определена для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2) Область определения функции $y = \sin x + \operatorname{tg} x$. Функция $y = \sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Функция тангенса $y = \operatorname{tg} x$ определена как отношение $\frac{\sin x}{\cos x}$. Она не определена в точках, где знаменатель $\cos x$ равен нулю. Решим уравнение $\cos x = 0$. Корнями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Область определения исходной функции — это все действительные числа, за исключением тех, в которых не определен тангенс.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{\sin x}$. Функция квадратного корня определена только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Следовательно, должно выполняться условие $\sin x \ge 0$. Используя тригонометрическую окружность, находим, что синус неотрицателен в I и II координатных четвертях. Это соответствует интервалу $[0, \pi]$ для одного периода. Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение неравенства имеет вид: $2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{\cos x}$. Аналогично предыдущему случаю, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\cos x \ge 0$. Косинус неотрицателен в I и IV координатных четвертях. Это соответствует интервалу $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ для одного периода. Учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, общее решение неравенства: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

5) Область определения функции $y = \frac{2x}{2\sin x - 1}$. Данная функция является дробной, поэтому ее область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $2\sin x - 1 = 0$. Отсюда получаем $\sin x = \frac{1}{2}$. Решениями этого уравнения являются $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: $x \neq (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Область определения функции $y = \frac{\cos x}{2\sin^2 x - \sin x}$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2\sin^2 x - \sin x \neq 0$. Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x(2\sin x - 1) \neq 0$. Это условие выполняется, когда оба множителя не равны нулю:
1) $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin x - 1 \neq 0$, что означает $\sin x \neq \frac{1}{2}$. Это дает $x \neq (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область определения — это все действительные числа, кроме указанных серий значений.
Ответ: $x \neq \pi n$ и $x \neq (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

109. Найти множество значений функции:

1) $y = 1 - 2\sin^2 x;$

2) $y = 2\cos^2 x - 1;$

3) $y = 3 - 2\sin^2 x;$

4) $y = 2\cos^2 x + 5;$

5) $y = \cos 3x \sin x - \sin 3x \cos x + 4;$

6) $y = \cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x - 3.$

1) Для нахождения множества значений функции $y = 1 - 2\sin^2x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Применив эту формулу для $\alpha=x$, получаем, что исходная функция эквивалентна $y = \cos(2x)$. Множество значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Поскольку аргумент $2x$ пробегает все действительные значения, множество значений функции $y=\cos(2x)$ также будет $[-1, 1]$.
Ответ: $[-1, 1]$.

2) Для функции $y = 2\cos^2x - 1$ также применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. При $\alpha=x$ функция принимает вид $y = \cos(2x)$. Множество значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, поэтому множество значений данной функции — это $[-1, 1]$.
Ответ: $[-1, 1]$.

3) Преобразуем данную функцию: $y = 3 - 2\sin^2x$. Выделим выражение для косинуса двойного угла: $y = 2 + (1 - 2\sin^2x)$. Так как $1 - 2\sin^2x = \cos(2x)$, функция принимает вид $y = 2 + \cos(2x)$. Множество значений для $\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$, т.е. $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Чтобы найти множество значений $y$, прибавим $2$ ко всем частям этого неравенства: $2-1 \le 2 + \cos(2x) \le 2+1$, что дает $1 \le y \le 3$.
Ответ: $[1, 3]$.

4) Преобразуем функцию $y = 2\cos^2x + 5$. Из формулы $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$ выразим $2\cos^2x = \cos(2x) + 1$. Подставим это в исходное уравнение: $y = (\cos(2x) + 1) + 5$, что упрощается до $y = \cos(2x) + 6$. Множество значений для $\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Тогда $-1 \le \cos(2x) \le 1$. Прибавим $6$ ко всем частям неравенства: $6-1 \le \cos(2x) + 6 \le 6+1$, что дает $5 \le y \le 7$.
Ответ: $[5, 7]$.

5) Упростим выражение $y = \cos(3x)\sin(x) - \sin(3x)\cos(x) + 4$. Первые два слагаемых представляют собой формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. В нашем случае $\cos(3x)\sin(x) - \sin(3x)\cos(x) = \sin(x-3x) = \sin(-2x)$. Так как синус — нечетная функция, $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. Таким образом, функция сводится к $y = -\sin(2x) + 4$. Множество значений для $\sin(2x)$ — это $[-1, 1]$, значит, $-1 \le \sin(2x) \le 1$. Умножим на $-1$ (знаки неравенства изменятся): $1 \ge -\sin(2x) \ge -1$, или $-1 \le -\sin(2x) \le 1$. Прибавим $4$ ко всем частям: $4-1 \le -\sin(2x)+4 \le 4+1$, что дает $3 \le y \le 5$.
Ответ: $[3, 5]$.

6) Упростим выражение $y = \cos(2x)\cos(x) + \sin(2x)\sin(x) - 3$. Первые два слагаемых представляют собой формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. В нашем случае $\cos(2x)\cos(x) + \sin(2x)\sin(x) = \cos(2x-x) = \cos(x)$. Таким образом, функция сводится к $y = \cos(x) - 3$. Множество значений для $\cos(x)$ — это $[-1, 1]$, т.е. $-1 \le \cos(x) \le 1$. Вычтем $3$ из всех частей неравенства: $-1-3 \le \cos(x)-3 \le 1-3$, что дает $-4 \le y \le -2$.
Ответ: $[-4, -2]$.

110. Выяснить, является ли чётной или нечётной функция:

1) $y = x^2 + \cos x;$

2) $y = x^3 - \sin x;$

3) $y = (1 - x^2)\cos x;$

4) $y = (1 + \sin x)\sin x.$

1) $y = x^2 + \cos x$

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, нужно проверить выполнение равенств $y(-x) = y(x)$ (для чётной функции) или $y(-x) = -y(x)$ (для нечётной функции). Область определения данной функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдём значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = (-x)^2 + \cos(-x)$

Используя свойства степенной функции с чётным показателем $ ((-x)^2 = x^2) $ и чётность функции косинус $ (\cos(-x) = \cos x) $, получаем:

$y(-x) = x^2 + \cos x$

Так как $y(-x) = y(x)$, то функция является чётной.

Альтернативно, можно заметить, что функция $y=x^2$ является чётной и функция $y=\cos x$ также является чётной. Сумма двух чётных функций есть функция чётная.

Ответ: функция чётная.

2) $y = x^3 - \sin x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^3 - \sin(-x)$

Используя свойства степенной функции с нечётным показателем $ ((-x)^3 = -x^3) $ и нечётность функции синус $ (\sin(-x) = -\sin x) $, получаем:

$y(-x) = -x^3 - (-\sin x) = -x^3 + \sin x = -(x^3 - \sin x)$

Так как $y(-x) = -y(x)$, то функция является нечётной.

Альтернативно, можно заметить, что функция $y=x^3$ является нечётной и функция $y=\sin x$ также является нечётной. Разность двух нечётных функций есть функция нечётная.

Ответ: функция нечётная.

3) $y = (1 - x^2)\cos x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = (1 - (-x)^2)\cos(-x)$

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $\cos(-x) = \cos x$, получаем:

$y(-x) = (1 - x^2)\cos x$

Так как $y(-x) = y(x)$, то функция является чётной.

Альтернативно, можно заметить, что множитель $f(x) = 1 - x^2$ является чётной функцией ($f(-x) = 1 - (-x)^2 = 1 - x^2 = f(x)$), и множитель $g(x) = \cos x$ также является чётной функцией. Произведение двух чётных функций есть функция чётная.

Ответ: функция чётная.

4) $y = (1 + \sin x)\sin x$

Раскроем скобки для удобства: $y(x) = \sin x + \sin^2 x$. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \sin(-x) + (\sin(-x))^2$

Используя свойство нечётности синуса $ (\sin(-x) = -\sin x) $, получаем:

$y(-x) = -\sin x + (-\sin x)^2 = -\sin x + \sin^2 x$

Теперь сравним полученное выражение с $y(x)$ и $-y(x)$:

$y(x) = \sin x + \sin^2 x$

$-y(x) = -(\sin x + \sin^2 x) = -\sin x - \sin^2 x$

Очевидно, что $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$. Для проверки можно подставить конкретное значение, например, $x = \frac{\pi}{2}$:

$y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \sin^2(\frac{\pi}{2}) = 1 + 1^2 = 2$

$y(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) + \sin^2(-\frac{\pi}{2}) = -1 + (-1)^2 = -1 + 1 = 0$

Поскольку $y(-\frac{\pi}{2}) \neq y(\frac{\pi}{2})$ и $y(-\frac{\pi}{2}) \neq -y(\frac{\pi}{2})$, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Альтернативно, функция $y(x)$ представляет собой сумму нечётной функции $(\sin x)$ и чётной функции $(\sin^2 x)$. Сумма не равных тождественно нулю чётной и нечётной функций является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

111. Доказать, что наименьший положительный период функции $y=f(x)$ равен $T$:

1) $y = \cos 7x$, $T = \frac{2\pi}{7}$;

2) $y = \sin \frac{x}{7}$, $T = 14\pi$.

1) Дана функция $y = \cos 7x$. Необходимо доказать, что ее наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{7}$.

Доказательство состоит из двух частей: сначала мы докажем, что $T = \frac{2\pi}{7}$ является периодом функции, а затем докажем, что это наименьший из всех положительных периодов.

Шаг 1: Доказательство, что $T = \frac{2\pi}{7}$ является периодом.

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Для функции $f(x) = \cos 7x$ проверим это условие:

$f(x + \frac{2\pi}{7}) = \cos(7(x + \frac{2\pi}{7})) = \cos(7x + 7 \cdot \frac{2\pi}{7}) = \cos(7x + 2\pi)$.

Известно, что функция косинус имеет основной период $2\pi$, то есть $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$.

Следовательно, $\cos(7x + 2\pi) = \cos(7x) = f(x)$.

Равенство $f(x + \frac{2\pi}{7}) = f(x)$ выполняется, значит, $T = \frac{2\pi}{7}$ является периодом функции $y = \cos 7x$.

Шаг 2: Доказательство, что $T = \frac{2\pi}{7}$ является наименьшим положительным периодом.

Предположим от противного, что существует меньший положительный период $T_0$, то есть $0 < T_0 < \frac{2\pi}{7}$.

Если $T_0$ — период, то для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+T_0) = f(x)$, то есть $\cos(7(x+T_0)) = \cos(7x)$.

Это равенство должно быть верным для всех $x$, в том числе и для $x=0$. Подставим $x=0$:

$\cos(7(0+T_0)) = \cos(7 \cdot 0) \implies \cos(7T_0) = \cos(0) \implies \cos(7T_0) = 1$.

Общее решение уравнения $\cos(\alpha) = 1$ имеет вид $\alpha = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

В нашем случае $7T_0 = 2\pi k$, откуда $T_0 = \frac{2\pi k}{7}$.

Поскольку мы ищем положительный период ($T_0 > 0$), то $k$ должно быть положительным целым числом ($k = 1, 2, 3, ...$).

Наименьшее положительное значение $T_0$ получается при наименьшем положительном $k$, то есть при $k=1$.

При $k=1$ получаем $T_0 = \frac{2\pi}{7}$.

Это означает, что наименьший положительный период функции не может быть меньше, чем $\frac{2\pi}{7}$. Мы пришли к противоречию с нашим предположением, что $0 < T_0 < \frac{2\pi}{7}$.

Следовательно, $T = \frac{2\pi}{7}$ — наименьший положительный период.

Ответ: Доказано, что наименьший положительный период функции $y=\cos 7x$ равен $T=\frac{2\pi}{7}$.

2) Дана функция $y = \sin \frac{x}{7}$. Необходимо доказать, что ее наименьший положительный период равен $T = 14\pi$.

Доказательство проведем по той же схеме.

Шаг 1: Доказательство, что $T = 14\pi$ является периодом.

Для функции $f(x) = \sin \frac{x}{7}$ проверим выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$:

$f(x + 14\pi) = \sin(\frac{x+14\pi}{7}) = \sin(\frac{x}{7} + \frac{14\pi}{7}) = \sin(\frac{x}{7} + 2\pi)$.

Функция синус имеет основной период $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$ для любого $\alpha$.

Следовательно, $\sin(\frac{x}{7} + 2\pi) = \sin(\frac{x}{7}) = f(x)$.

Равенство выполняется, значит, $T = 14\pi$ является периодом функции $y = \sin \frac{x}{7}$.

Шаг 2: Доказательство, что $T = 14\pi$ является наименьшим положительным периодом.

Предположим от противного, что существует меньший положительный период $T_0$, такой что $0 < T_0 < 14\pi$.

Если $T_0$ — период, то для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+T_0) = f(x)$, то есть $\sin(\frac{x+T_0}{7}) = \sin(\frac{x}{7})$.

Это равенство должно быть верным для всех $x$. Выберем такое значение $x$, чтобы $\frac{x}{7} = \frac{\pi}{2}$, то есть $x = \frac{7\pi}{2}$. При этом значении $f(x) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Тогда должно выполняться и равенство $f(x+T_0) = 1$:

$\sin(\frac{\frac{7\pi}{2}+T_0}{7}) = 1 \implies \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{T_0}{7}) = 1$.

Общее решение уравнения $\sin(\alpha) = 1$ имеет вид $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Таким образом, $\frac{\pi}{2} + \frac{T_0}{7} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Вычитая $\frac{\pi}{2}$ из обеих частей, получаем $\frac{T_0}{7} = 2\pi k$, откуда $T_0 = 14\pi k$.

Поскольку мы ищем положительный период ($T_0 > 0$), то $k$ должно быть наименьшим положительным целым числом, то есть $k=1$.

При $k=1$ получаем $T_0 = 14\pi$.

Это означает, что наименьший положительный период не может быть меньше $14\pi$. Мы пришли к противоречию с нашим предположением, что $0 < T_0 < 14\pi$.

Следовательно, $T = 14\pi$ — наименьший положительный период.

Ответ: Доказано, что наименьший положительный период функции $y=\sin \frac{x}{7}$ равен $T=14\pi$.

112. Сравнить числа:

1) $ \sin 1 $ и $ \cos 2 $;

2) $ \sin (-1) $ и $ \cos 1 $;

3) $ \sin 3,5 $ и $ \operatorname{tg} 3,5 $;

4) $ \cos 3 $ и $ \operatorname{tg} 4 $.

Для сравнения чисел sin 1 и cos 2 определим знаки этих тригонометрических функций. Аргументы функций, 1 и 2, даны в радианах.

Воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3,14$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.

Определим, в какой четверти находится угол в 1 радиан. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол в 1 радиан принадлежит I четверти. В этой четверти синус положителен, следовательно, $\sin 1 > 0$.

Определим, в какой четверти находится угол в 2 радиана. Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ (то есть $1,57 < 2 < 3,14$), угол в 2 радиана принадлежит II четверти. В этой четверти косинус отрицателен, следовательно, $\cos 2 < 0$.

Сравнивая положительное число $\sin 1$ и отрицательное число $\cos 2$, заключаем, что любое положительное число больше любого отрицательного.

Ответ: $\sin 1 > \cos 2$.

Сравним числа sin(-1) и cos 1.

Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому $\sin(-1) = -\sin 1$.

Как мы установили ранее, угол в 1 радиан находится в I четверти. В I четверти синус положителен ($\sin 1 > 0$), значит, $-\sin 1$ является отрицательным числом. Таким образом, $\sin(-1) < 0$.

Косинус в I четверти также положителен, поэтому $\cos 1 > 0$.

Сравнивая отрицательное число $\sin(-1)$ и положительное число $\cos 1$, получаем, что $\sin(-1) < \cos 1$.

Ответ: $\sin(-1) < \cos 1$.

Для сравнения чисел sin 3,5 и tg 3,5 определим, в какой четверти находится угол в 3,5 радиана, и каковы знаки функций в этой четверти.

Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

Так как $\pi < 3.5 < \frac{3\pi}{2}$ (то есть $3,14 < 3,5 < 4,71$), угол в 3,5 радиана находится в III четверти.

В III четверти синус отрицателен, следовательно, $\sin 3.5 < 0$.

В III четверти тангенс положителен, следовательно, $\operatorname{tg} 3.5 > 0$.

Сравнивая отрицательное число sin 3,5 и положительное число tg 3,5, приходим к выводу, что $\sin 3.5 < \operatorname{tg} 3.5$.

Ответ: $\sin 3.5 < \operatorname{tg} 3.5$.

Сравним числа cos 3 и tg 4, определив их знаки.

Используем приближенные значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

Для угла в 3 радиана имеем: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (то есть $1,57 < 3 < 3,14$). Этот угол находится во II четверти, где косинус отрицателен: $\cos 3 < 0$.

Для угла в 4 радиана имеем: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (то есть $3,14 < 4 < 4,71$). Этот угол находится в III четверти, где тангенс положителен: $\operatorname{tg} 4 > 0$.

Сравнивая отрицательное число cos 3 и положительное число tg 4, заключаем, что $\cos 3 < \operatorname{tg} 4$.

Ответ: $\cos 3 < \operatorname{tg} 4$.

113. Выяснить, какая из функций $y = \sin x$ или $y = \cos x$ является убывающей на промежутке:

1) $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$;

2) $[0; \frac{\pi}{2}]$;

3) $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$;

4) $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.

Для определения промежутков убывания функции воспользуемся производной. Функция $y=f(x)$ убывает на некотором интервале, если её производная $f'(x)$ на этом интервале неположительна ($f'(x) \le 0$).

Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$.

Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$.

Проанализируем каждую функцию на заданных промежутках.

1) Промежуток $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$ (третья координатная четверть).

• Для функции $y = \sin x$: производная $y' = \cos x$. В третьей четверти $\cos x \le 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ убывает на этом промежутке.
• Для функции $y = \cos x$: производная $y' = -\sin x$. В третьей четверти $\sin x \le 0$, поэтому $-\sin x \ge 0$. Следовательно, функция $y = \cos x$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: $y = \sin x$.

2) Промежуток $[0; \frac{\pi}{2}]$ (первая координатная четверть).

• Для функции $y = \sin x$: производная $y' = \cos x$. В первой четверти $\cos x \ge 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает на этом промежутке.
• Для функции $y = \cos x$: производная $y' = -\sin x$. В первой четверти $\sin x \ge 0$, поэтому $-\sin x \le 0$. Следовательно, функция $y = \cos x$ убывает на этом промежутке.

Ответ: $y = \cos x$.

3) Промежуток $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ (третья координатная четверть).

• Для функции $y = \sin x$: производная $y' = \cos x$. В третьей четверти (углы от $-\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$) $\cos x \le 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ убывает на этом промежутке.
• Для функции $y = \cos x$: производная $y' = -\sin x$. В третьей четверти $\sin x \le 0$, поэтому $-\sin x \ge 0$. Следовательно, функция $y = \cos x$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: $y = \sin x$.

4) Промежуток $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ (вторая координатная четверть).

• Для функции $y = \sin x$: производная $y' = \cos x$. Во второй четверти $\cos x \le 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ убывает на этом промежутке.
• Для функции $y = \cos x$: производная $y' = -\sin x$. Во второй четверти $\sin x \ge 0$, поэтому $-\sin x \le 0$. Следовательно, функция $y = \cos x$ также убывает на этом промежутке.

Ответ: Обе функции, $y = \sin x$ и $y = \cos x$.