Страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

75. (Устно.) Выяснить, является ли функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастающей на промежутке:

1) $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$

2) $(\frac{\pi}{2}; \pi)$

3) $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8})$

4) $[2; 3]$

Функция $y = \text{tg } x$ определена для всех действительных чисел $x$, за исключением точек вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках находятся вертикальные асимптоты графика функции.

Для определения промежутков возрастания функции найдем ее производную:$y' = (\text{tg } x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Поскольку $\cos^2 x$ всегда больше нуля для всех $x$ из области определения тангенса, производная $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ всегда положительна. Это означает, что функция $y = \text{tg } x$ строго возрастает на каждом из интервалов, где она непрерывна. Эти интервалы имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы выяснить, является ли функция возрастающей на заданном промежутке, необходимо проверить, лежит ли этот промежуток целиком внутри одного из таких интервалов непрерывности.

Данный промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$ является подмножеством интервала непрерывности $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ (случай $k=0$), так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$. На этом промежутке функция $y=\text{tg } x$ не имеет точек разрыва и, следовательно, является возрастающей.
Ответ: да.

Этот промежуток является подмножеством интервала непрерывности $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ (случай $k=1$), так как $\frac{\pi}{2} < \pi < \frac{3\pi}{2}$. На данном промежутке функция $y=\text{tg } x$ непрерывна, а значит, возрастает.
Ответ: да.

Данный промежуток является подмножеством интервала непрерывности $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ (случай $k=0$), так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$. На этом промежутке функция $y=\text{tg } x$ непрерывна и возрастает.
Ответ: да.

Оценим значения ближайших точек разрыва функции: $x_0 = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $x_1 = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Промежуток $[2; 3]$ находится между этими точками: $\frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \frac{3\pi}{2}$. Таким образом, промежуток $[2; 3]$ целиком содержится в интервале непрерывности $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$. Следовательно, функция $y=\text{tg } x$ на этом промежутке возрастает.
Ответ: да.

76. Найти значение функции при заданном значении аргумента:

1) $y = \operatorname{tg} x, x = \frac{3\pi}{4};$

2) $y = \operatorname{tg} 3x, x = \frac{2\pi}{3};$

3) $y = \operatorname{ctg} x, x = \frac{5\pi}{6};$

4) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}, x = \frac{\pi}{2}.$

1) Дана функция $y = \operatorname{tg} x$ и значение аргумента $x = \frac{3\pi}{4}$.
Чтобы найти значение функции, подставим значение $x$ в ее уравнение:
$y = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right)$
Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти. Можно использовать формулу приведения $\operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$.
Представим $\frac{3\pi}{4}$ как $\pi - \frac{\pi}{4}$:
$y = \operatorname{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$
Поскольку значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1, получаем:
$y = -1$
Ответ: -1

2) Дана функция $y = \operatorname{tg} 3x$ и значение аргумента $x = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим значение $x$ в уравнение функции:
$y = \operatorname{tg}\left(3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}(2\pi)$
Тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(2\pi) = \operatorname{tg}(0 + 2\pi) = \operatorname{tg}(0)$.
Значение тангенса для угла 0 радиан равно 0.
$y = 0$
Ответ: 0

3) Дана функция $y = \operatorname{ctg} x$ и значение аргумента $x = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим значение $x$ в уравнение функции:
$y = \operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{6}\right)$
Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти. Используем формулу приведения $\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.
Представим $\frac{5\pi}{6}$ как $\pi - \frac{\pi}{6}$:
$y = \operatorname{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$
Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\sqrt{3}$.
$y = -\sqrt{3}$
Ответ: $-\sqrt{3}$

4) Дана функция $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$ и значение аргумента $x = \frac{\pi}{2}$.
Подставим значение $x$ в уравнение функции:
$y = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi/2}{2}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$
Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1.
$y = 1$
Ответ: 1

77. Найти значение функции $y=\frac{1}{|\operatorname{tg} x|}$ при:

1) $x=\frac{5\pi}{6}$;

2) $x=\frac{3\pi}{4}$;

3) $x=-\frac{\pi}{6}$;

4) $x=-\frac{2\pi}{3}$.

1) Для $x = \frac{5\pi}{6}$:Сначала находим значение $\text{tg}(x)$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй координатной четверти, где тангенс отрицателен. Используя формулу приведения, получаем: $\text{tg}(\frac{5\pi}{6}) = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.Теперь подставляем это значение в исходную функцию: $y = \frac{1}{|\text{tg } x|} = \frac{1}{|-\frac{1}{\sqrt{3}}|} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$.Ответ: $\sqrt{3}$.

2) Для $x = \frac{3\pi}{4}$:Находим значение $\text{tg}(x)$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти, где тангенс отрицателен. Используя формулу приведения: $\text{tg}(\frac{3\pi}{4}) = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.Подставляем значение в функцию: $y = \frac{1}{|\text{tg } x|} = \frac{1}{|-1|} = \frac{1}{1} = 1$.Ответ: $1$.

3) Для $x = -\frac{\pi}{6}$:Находим значение $\text{tg}(x)$. Тангенс является нечетной функцией, поэтому $\text{tg}(-a) = -\text{tg}(a)$.$\text{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.Подставляем значение в функцию: $y = \frac{1}{|\text{tg } x|} = \frac{1}{|-\frac{1}{\sqrt{3}}|} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$.Ответ: $\sqrt{3}$.

4) Для $x = -\frac{2\pi}{3}$:Находим значение $\text{tg}(x)$. Используем свойство нечетности тангенса: $\text{tg}(-\frac{2\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{2\pi}{3})$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, поэтому $\text{tg}(\frac{2\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.Следовательно, $\text{tg}(-\frac{2\pi}{3}) = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$.Подставляем значение в функцию: $y = \frac{1}{|\text{tg } x|} = \frac{1}{|\sqrt{3}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, что дает $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$.Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

78. Выяснить, принадлежит ли графику функции $y = \text{tg } 2x$ точка с координатами:

1) $(\frac{3\pi}{8}; -1)$;

2) $(\frac{13\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})$;

3) $(\frac{14\pi}{3}; \sqrt{3})$;

4) $(-\frac{17\pi}{8}; -1)$.

Для того чтобы выяснить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = \tg 2x$, необходимо подставить значение $x_0$ в уравнение функции и проверить, будет ли полученное значение $y$ равно $y_0$.

1) $(\frac{3\pi}{8}; -1)$

Подставим $x = \frac{3\pi}{8}$ в уравнение функции:

$y = \tg(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = \tg(\frac{6\pi}{8}) = \tg(\frac{3\pi}{4})$.

Значение тангенса для угла $\frac{3\pi}{4}$ равно $-1$.

$\tg(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

Полученное значение $y = -1$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

2) $(\frac{13\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})$

Подставим $x = \frac{13\pi}{6}$ в уравнение функции:

$y = \tg(2 \cdot \frac{13\pi}{6}) = \tg(\frac{26\pi}{6}) = \tg(\frac{13\pi}{3})$.

Используем периодичность тангенса, период которого равен $\pi$. Выделим целое число периодов:

$\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.

$\tg(\frac{13\pi}{3}) = \tg(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Полученное значение $y = \sqrt{3}$ не совпадает с ординатой данной точки $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, точка не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

3) $(\frac{14\pi}{3}; \sqrt{3})$

Подставим $x = \frac{14\pi}{3}$ в уравнение функции:

$y = \tg(2 \cdot \frac{14\pi}{3}) = \tg(\frac{28\pi}{3})$.

Используем периодичность тангенса:

$\frac{28\pi}{3} = \frac{27\pi + \pi}{3} = 9\pi + \frac{\pi}{3}$.

$\tg(\frac{28\pi}{3}) = \tg(9\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Полученное значение $y = \sqrt{3}$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

4) $(-\frac{17\pi}{8}; -1)$

Подставим $x = -\frac{17\pi}{8}$ в уравнение функции:

$y = \tg(2 \cdot (-\frac{17\pi}{8})) = \tg(-\frac{17\pi}{4})$.

Так как тангенс — нечетная функция, $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$:

$\tg(-\frac{17\pi}{4}) = -\tg(\frac{17\pi}{4})$.

Используем периодичность тангенса:

$\frac{17\pi}{4} = \frac{16\pi + \pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$.

$-\tg(\frac{17\pi}{4}) = -\tg(4\pi + \frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Полученное значение $y = -1$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

79. С помощью свойств функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ сравнить числа:

1) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}$ и $\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}$;

2) $\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{8}$ и $\operatorname{ctg} \frac{8\pi}{9}$;

3) $\operatorname{tg} \left(-\frac{7\pi}{8}\right)$ и $\operatorname{tg} \left(-\frac{8\pi}{9}\right)$;

4) $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{5}\right)$ и $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{7}\right)$;

5) $\operatorname{ctg} 2$ и $\operatorname{ctg} 3$;

6) $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{tg} 1,5$.

Для решения данных задач воспользуемся свойствами монотонности функций $y = \tg x$ и $y = \ctg x$.

• Функция $y = \tg x$ является возрастающей на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция $y = \ctg x$ является убывающей на каждом из интервалов вида $(\pi k, \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сравним аргументы тангенса: $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$.
Так как $5 < 7$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{7}$, следовательно $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$.
Оба угла $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$ принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$, который является частью интервала возрастания функции $y = \tg x$, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Из $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$ следует, что $\tg \frac{\pi}{5} > \tg \frac{\pi}{7}$.

Ответ: $\tg \frac{\pi}{5} > \tg \frac{\pi}{7}$.

Сравним аргументы котангенса: $\frac{7\pi}{8}$ и $\frac{8\pi}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $72$: $\frac{7}{8} = \frac{63}{72}$ и $\frac{8}{9} = \frac{64}{72}$.
Так как $63 < 64$, то $\frac{63\pi}{72} < \frac{64\pi}{72}$, следовательно $\frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9}$.
Оба угла $\frac{7\pi}{8}$ и $\frac{8\pi}{9}$ принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, который является частью интервала убывания функции $y = \ctg x$, $(0, \pi)$.
Поскольку функция $y = \ctg x$ убывает на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $\frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9}$ следует, что $\ctg \frac{7\pi}{8} > \ctg \frac{8\pi}{9}$.

Ответ: $\ctg \frac{7\pi}{8} > \ctg \frac{8\pi}{9}$.

Воспользуемся свойством периодичности тангенса ($\tg(x+\pi) = \tg x$) для приведения аргументов к более удобному интервалу.
$\tg(-\frac{7\pi}{8}) = \tg(-\frac{7\pi}{8} + \pi) = \tg(\frac{\pi}{8})$.
$\tg(-\frac{8\pi}{9}) = \tg(-\frac{8\pi}{9} + \pi) = \tg(\frac{\pi}{9})$.
Теперь необходимо сравнить $\tg(\frac{\pi}{8})$ и $\tg(\frac{\pi}{9})$.
Сравним аргументы: $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{9}$. Так как $8 < 9$, то $\frac{1}{8} > \frac{1}{9}$, следовательно $\frac{\pi}{8} > \frac{\pi}{9}$.
Оба угла, $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{9}$, принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \tg x$ возрастает. Из $\frac{\pi}{8} > \frac{\pi}{9}$ следует, что $\tg(\frac{\pi}{8}) > \tg(\frac{\pi}{9})$.
Таким образом, $\tg(-\frac{7\pi}{8}) > \tg(-\frac{8\pi}{9})$.

Ответ: $\tg(-\frac{7\pi}{8}) > \tg(-\frac{8\pi}{9})$.

Сравним аргументы тангенса: $-\frac{\pi}{5}$ и $-\frac{\pi}{7}$.
Так как $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$, то при умножении на $-1$ знак неравенства меняется: $-\frac{\pi}{5} < -\frac{\pi}{7}$.
Оба угла $-\frac{\pi}{5}$ и $-\frac{\pi}{7}$ принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, 0)$.
На этом интервале функция $y = \tg x$ возрастает.
Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Из $-\frac{\pi}{5} < -\frac{\pi}{7}$ следует, что $\tg(-\frac{\pi}{5}) < \tg(-\frac{\pi}{7})$.

Ответ: $\tg(-\frac{\pi}{5}) < \tg(-\frac{\pi}{7})$.

Сравним аргументы котангенса: 2 и 3 (в радианах).
Очевидно, что $2 < 3$.
Оценим значения аргументов, зная, что $\pi \approx 3,14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
Таким образом, $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ и $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Оба аргумента принадлежат интервалу $(0, \pi)$.
На интервале $(0, \pi)$ функция $y = \ctg x$ является убывающей.
Поскольку функция $y = \ctg x$ убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $2 < 3$ следует, что $\ctg 2 > \ctg 3$.

Ответ: $\ctg 2 > \ctg 3$.

Сравним аргументы тангенса: 1 и 1,5 (в радианах).
Очевидно, что $1 < 1,5$.
Оценим значения аргументов, зная, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
Оба аргумента, 1 и 1,5, принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$.
На этом интервале функция $y = \tg x$ является возрастающей.
Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Из $1 < 1,5$ следует, что $\tg 1 < \tg 1,5$.

Ответ: $\tg 1 < \tg 1,5$.

80. Найти все принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$ корни уравнения:

1) $ctg x = 1$;

2) $tg x = \sqrt{3}$;

3) $ctg x = -\sqrt{3}$;

4) $tg x = -1$.

Для решения задачи найдем общее решение каждого тригонометрического уравнения, а затем отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $(-\pi; 2\pi)$, путем подбора целочисленных значений $n$.

1) ctg x = 1

Общее решение уравнения $\text{ctg } x = 1$ имеет вид:
$x = \text{arcctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Теперь найдем все корни, принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$. Для этого решим двойное неравенство:
$-\pi < \frac{\pi}{4} + \pi n < 2\pi$
Разделим все части на $\pi$:
$-1 < \frac{1}{4} + n < 2$
Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей:
$-1 - \frac{1}{4} < n < 2 - \frac{1}{4}$
$-\frac{5}{4} < n < \frac{7}{4}$
$-1.25 < n < 1.75$
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n = -1: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$
При $n = 0: x = \frac{\pi}{4}$
При $n = 1: x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$
Все три корня принадлежат промежутку $(-\pi; 2\pi)$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

2) tg x = √3

Общее решение уравнения $\text{tg } x = \sqrt{3}$ имеет вид:
$x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$
Решим двойное неравенство для отбора корней:
$-\pi < \frac{\pi}{3} + \pi n < 2\pi$
$-1 < \frac{1}{3} + n < 2$
$-1 - \frac{1}{3} < n < 2 - \frac{1}{3}$
$-\frac{4}{3} < n < \frac{5}{3}$
$-1.33... < n < 1.66...$
Целочисленные значения $n$: $n = -1, 0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n = -1: x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$
При $n = 0: x = \frac{\pi}{3}$
При $n = 1: x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.

3) ctg x = -√3

Общее решение уравнения $\text{ctg } x = -\sqrt{3}$ имеет вид:
$x = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$
Решим двойное неравенство для отбора корней:
$-\pi < \frac{5\pi}{6} + \pi n < 2\pi$
$-1 < \frac{5}{6} + n < 2$
$-1 - \frac{5}{6} < n < 2 - \frac{5}{6}$
$-\frac{11}{6} < n < \frac{7}{6}$
$-1.83... < n < 1.16...$
Целочисленные значения $n$: $n = -1, 0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n = -1: x = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6}$
При $n = 0: x = \frac{5\pi}{6}$
При $n = 1: x = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6}$

Ответ: $-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

4) tg x = -1

Общее решение уравнения $\text{tg } x = -1$ имеет вид:
$x = \text{arctg}(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
Решим двойное неравенство для отбора корней:
$-\pi < -\frac{\pi}{4} + \pi n < 2\pi$
$-1 < -\frac{1}{4} + n < 2$
$-1 + \frac{1}{4} < n < 2 + \frac{1}{4}$
$-\frac{3}{4} < n < \frac{9}{4}$
$-0.75 < n < 2.25$
Целочисленные значения $n$: $n = 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n = 0: x = -\frac{\pi}{4}$
При $n = 1: x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$
При $n = 2: x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$

Ответ: $-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

81. Найти все принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$ решения неравенства:

1) $\text{tg } x \ge 1$;

2) $\text{tg } x < \frac{\sqrt{3}}{3}$;

3) $\text{ctg } x < -1$;

4) $\text{ctg } x \ge -\sqrt{3}$.

1) tg x ≥ 1

Сначала решим уравнение $\text{tg } x = 1$. Основное решение этого уравнения $x = \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Поскольку период тангенса равен $\pi$, общее решение уравнения имеет вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Поэтому неравенство $\text{tg } x \ge 1$ выполняется при $x$, принадлежащих промежуткам от $\frac{\pi}{4}$ (включительно) до ближайшей вертикальной асимптоты $\frac{\pi}{2}$.

Общее решение неравенства: $\frac{\pi}{4} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем все решения, принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$, перебирая целые значения $k$:

• При $k = -1$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4} - \pi; \frac{\pi}{2} - \pi)$, то есть $[-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{2})$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 0$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 1$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4} + \pi; \frac{\pi}{2} + \pi)$, то есть $[\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 2$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4} + 2\pi; \frac{\pi}{2} + 2\pi)$, который находится правее $2\pi$.
• При $k = -2$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4} - 2\pi; \frac{\pi}{2} - 2\pi)$, который находится левее $-\pi$.

Объединяя найденные промежутки, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{2}) \cup [\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$.

2) tg x < $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Решим уравнение $\text{tg } x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Основное решение: $x = \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$. Общее решение уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как функция $y = \text{tg } x$ возрастающая, неравенство $\text{tg } x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется на промежутках от вертикальной асимптоты $-\frac{\pi}{2}$ до значения $\frac{\pi}{6}$ (не включая его).

Общее решение неравенства: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$:

• При $k = -1$: получаем $(-\frac{\pi}{2} - \pi; \frac{\pi}{6} - \pi)$, то есть $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{5\pi}{6})$. Пересечение с интервалом $(-\pi; 2\pi)$ дает $(-\pi; -\frac{5\pi}{6})$.
• При $k = 0$: получаем $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6})$. Промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 1$: получаем $(-\frac{\pi}{2} + \pi; \frac{\pi}{6} + \pi)$, то есть $(\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6})$. Промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 2$: получаем $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi; \frac{\pi}{6} + 2\pi)$, то есть $(\frac{3\pi}{2}; \frac{13\pi}{6})$. Пересечение с интервалом $(-\pi; 2\pi)$ дает $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.

Объединяя найденные решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\pi; -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.

3) ctg x < -1

Решим уравнение $\text{ctg } x = -1$. Основное решение $x = \text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$. Общее решение уравнения: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $y = \text{ctg } x$ является убывающей на каждом из интервалов своей области определения $(\pi n; \pi + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Поэтому неравенство $\text{ctg } x < -1$ выполняется на промежутках от $\frac{3\pi}{4}$ до ближайшей вертикальной асимптоты $\pi$.

Общее решение неравенства: $\frac{3\pi}{4} + \pi k < x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем решения, принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$:

• При $k = -1$: получаем $(\frac{3\pi}{4} - \pi; \pi - \pi)$, то есть $(-\frac{\pi}{4}; 0)$. Промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 0$: получаем $(\frac{3\pi}{4}; \pi)$. Промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 1$: получаем $(\frac{3\pi}{4} + \pi; \pi + \pi)$, то есть $(\frac{7\pi}{4}; 2\pi)$. Пересечение с $(-\pi; 2\pi)$ дает $(\frac{7\pi}{4}; 2\pi)$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4}; 0) \cup (\frac{3\pi}{4}; \pi) \cup (\frac{7\pi}{4}; 2\pi)$.

4) ctg x ≥ -$\sqrt{3}$

Решим уравнение $\text{ctg } x = -\sqrt{3}$. Основное решение $x = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$. Общее решение уравнения: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как функция $y = \text{ctg } x$ убывающая, неравенство $\text{ctg } x \ge -\sqrt{3}$ выполняется на промежутках от вертикальной асимптоты (например, $0$) до значения $\frac{5\pi}{6}$ (включительно).

Общее решение неравенства: $\pi k < x \le \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем решения, принадлежащие промежутку $(-\pi; 2\pi)$:

• При $k = -1$: получаем $(\pi(-1); \frac{5\pi}{6} + \pi(-1)]$, то есть $(-\pi; -\frac{\pi}{6}]$. Этот промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 0$: получаем $(0; \frac{5\pi}{6}]$. Этот промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.
• При $k = 1$: получаем $(\pi; \frac{5\pi}{6} + \pi]$, то есть $(\pi; \frac{11\pi}{6}]$. Этот промежуток полностью принадлежит $(-\pi; 2\pi)$.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{6}] \cup (0; \frac{5\pi}{6}] \cup (\pi; \frac{11\pi}{6}]$.

82. Построив график функции $y = f(x)$, найти: а) область определения; б) множество значений; в) промежутки возрастания:

1) $f(x) = \begin{cases} \text{tg } x, \text{ если } \pi \le x < \frac{3\pi}{2}, \\ \text{sin } x, \text{ если } -\pi \le x < \pi; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} \text{ctg } x, \text{ если } -\pi < x < -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \le x < 2\pi, \\ \text{cos } x, \text{ если } -\frac{\pi}{2} \le x < \frac{3\pi}{2}. \end{cases}$

1)

Рассмотрим кусочно-заданную функцию: $f(x) = \begin{cases} \tg x, & \text{если } \pi \le x < \frac{3\pi}{2} \\ \sin x, & \text{если } -\pi \le x < \pi \end{cases}$.

Для построения графика функции $y = f(x)$ необходимо рассмотреть два участка. На промежутке $[-\pi, \pi)$ график совпадает с графиком функции $y = \sin x$. Он начинается в точке $(-\pi, 0)$ (точка включена), проходит через точки $(-\frac{\pi}{2}, -1)$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и заканчивается в точке $(\pi, 0)$ (которая выколота, так как неравенство строгое). На промежутке $[\pi, \frac{3\pi}{2})$ график совпадает с графиком функции $y = \tg x$. Он начинается в точке $(\pi, 0)$ (точка включена, "закрывая" выколотую точку с предыдущего участка) и устремляется к $+\infty$ при приближении $x$ к $\frac{3\pi}{2}$. Прямая $x = \frac{3\pi}{2}$ является вертикальной асимптотой.

а) область определения
Область определения функции $D(f)$ является объединением промежутков, на которых она задана: $D(f) = [-\pi, \pi) \cup [\pi, \frac{3\pi}{2})$. Так как точка $x=\pi$ принадлежит второму промежутку, то эти два промежутка образуют один сплошной.
Ответ: $D(f) = [-\pi, \frac{3\pi}{2})$.

б) множество значений
Найдем множество значений $E(f)$ для каждой части функции. На промежутке $[-\pi, \pi)$ функция $f(x) = \sin x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$. На промежутке $[\pi, \frac{3\pi}{2})$ функция $f(x) = \tg x$. При $x=\pi$ значение функции равно $\tg(\pi)=0$. При $x \to \frac{3\pi}{2}^-$, значение $\tg x \to +\infty$. Так как тангенс непрерывен и возрастает на этом интервале, он принимает все значения из промежутка $[0, +\infty)$. Общее множество значений функции есть объединение множеств значений на этих участках: $E(f) = [-1, 1] \cup [0, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.

в) промежутки возрастания
Проанализируем монотонность функции на каждом участке. Функция $y = \sin x$ на промежутке $[-\pi, \pi)$ возрастает на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Функция $y = \tg x$ возрастает на всей своей области определения, следовательно, она возрастает и на промежутке $[\pi, \frac{3\pi}{2})$. Таким образом, функция $f(x)$ возрастает на двух промежутках.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и $[\pi, \frac{3\pi}{2})$.

2)

Рассмотрим кусочно-заданную функцию: $f(x) = \begin{cases} \ctg x, & \text{если } x \in (-\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \\ \cos x, & \text{если } x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \end{cases}$.

График данной функции состоит из трех частей:
1. На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ это ветвь графика $y = \ctg x$. При $x \to -\pi^+$, $y \to +\infty$. При $x \to -\frac{\pi}{2}^-$, $y \to 0$.
2. На полуинтервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ это часть графика $y = \cos x$. График проходит через точки $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(0, 1)$, $(\pi, -1)$ и стремится к $(\frac{3\pi}{2}, 0)$.
3. На полуинтервале $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ это снова ветвь графика $y = \ctg x$. Начинается в точке $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ и уходит к $-\infty$ при $x \to 2\pi^-$.
Функция непрерывна в точках "склейки" $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$, так как $\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^-} \ctg x = 0 = \cos(-\frac{\pi}{2})$ и $\lim_{x\to\frac{3\pi}{2}^-} \cos x = 0 = \ctg(\frac{3\pi}{2})$.

а) область определения
Область определения $D(f)$ является объединением промежутков: $D(f) = (-\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$. Объединив эти промежутки, получаем один интервал.
Ответ: $D(f) = (-\pi, 2\pi)$.

б) множество значений
Найдем множество значений $E(f)$ для каждой части функции. На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ функция $f(x) = \ctg x$ убывает от $+\infty$ до $0$. Множество значений здесь: $(0, +\infty)$. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ функция $f(x) = \cos x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$. На промежутке $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ функция $f(x) = \ctg x$ убывает от $0$ до $-\infty$. Множество значений здесь: $(-\infty, 0]$. Общее множество значений есть объединение этих множеств: $E(f) = (0, +\infty) \cup [-1, 1] \cup (-\infty, 0]$.
Ответ: $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

в) промежутки возрастания
Функция $y = \ctg x$ является убывающей на каждом интервале своей области определения, поэтому на промежутках $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ и $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ данная функция $f(x)$ убывает. Промежутки возрастания нужно искать на участке, где $f(x) = \cos x$, то есть на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Известно, что функция $y = \cos x$ возрастает на отрезках вида $[-\pi + 2\pi k, 2\pi k]$. В нашем случае, на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ косинус возрастает на двух участках:
1. От $x=-\frac{\pi}{2}$ до $x=0$.
2. От $x=\pi$ до $x=\frac{3\pi}{2}$. Учитывая непрерывность функции в точках смены формул и характер монотонности в них (в $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\pi$ - минимумы, в $x=0$ и $x=\frac{3\pi}{2}$ - максимумы), мы можем включить концы отрезков.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ и $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$.

83. Решить неравенство:

1) $\text{ctg} x < 1$;

2) $\text{tg} x \ge \sqrt{3}$;

3) $\text{tg} x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

4) $\text{tg} x > -1$.

1) $\operatorname{ctg} x < 1$

Для решения данного тригонометрического неравенства воспользуемся свойствами функции котангенс и тригонометрической окружностью.

1. Область определения и периодичность: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ определена для всех $x$, при которых $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Период функции равен $\pi$. Мы можем решить неравенство на одном из периодов, например, на интервале $(0, \pi)$, а затем обобщить решение.

2. Решение уравнения: Сначала найдем значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x = 1$. На интервале $(0, \pi)$ это $x = \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

3. Анализ на интервале: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ является убывающей на интервале $(0, \pi)$. Это означает, что если значение аргумента $x$ увеличивается, значение функции $\operatorname{ctg} x$ уменьшается. Следовательно, неравенство $\operatorname{ctg} x < 1$ будет выполняться для тех $x$, которые больше, чем $\frac{\pi}{4}$. Учитывая, что мы рассматриваем интервал $(0, \pi)$, решением будет $x \in (\frac{\pi}{4}, \pi)$.

4. Общее решение: В силу периодичности функции котангенс с периодом $\pi$, общее решение неравенства получается путем добавления $\pi n$ к границам найденного интервала: $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n, \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) $\operatorname{tg} x \ge \sqrt{3}$

Рассмотрим решение неравенства $\operatorname{tg} x \ge \sqrt{3}$.

1. Область определения и периодичность: Функция $y = \operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (вертикальные асимптоты). Период функции равен $\pi$. Решим неравенство на основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

2. Решение уравнения: Найдем $x$, для которого $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$. Главное значение $x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

3. Анализ на интервале: Функция $y = \operatorname{tg} x$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это значит, что большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции. Следовательно, неравенство $\operatorname{tg} x \ge \sqrt{3}$ будет истинно для $x \ge \frac{\pi}{3}$. При этом $x$ должен оставаться в пределах рассматриваемого интервала, то есть $x < \frac{\pi}{2}$. Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение - это полуинтервал $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.

4. Общее решение: Добавим период $\pi n$ к границам полученного интервала, чтобы получить все решения: $\frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3) $\operatorname{tg} x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Решим неравенство $\operatorname{tg} x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1. Область определения и периодичность: Аналогично предыдущему пункту, область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, а период равен $\pi$. Решаем на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

2. Решение уравнения: Решим $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Главное значение $x = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

3. Анализ на интервале: Поскольку функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастающая на $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, неравенство $\operatorname{tg} x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$ будет выполняться при $x \le -\frac{\pi}{6}$. Левой границей для $x$ является асимптота $x = -\frac{\pi}{2}$. Таким образом, на рассматриваемом интервале решение - это полуинтервал $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}]$.

4. Общее решение: Обобщая с учетом периодичности, получаем: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{6} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

4) $\operatorname{tg} x > -1$

Решим неравенство $\operatorname{tg} x > -1$.

1. Область определения и периодичность: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, период $\pi$. Решаем на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

2. Решение уравнения: Найдем решение для $\operatorname{tg} x = -1$. Главное значение $x = \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

3. Анализ на интервале: Так как $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, неравенство $\operatorname{tg} x > -1$ выполняется для всех $x > -\frac{\pi}{4}$. Верхней границей для $x$ на этом интервале является асимптота $x = \frac{\pi}{2}$. Следовательно, решение на данном интервале - это $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$.

4. Общее решение: Учитывая периодичность, общее решение неравенства: $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.