Номер 77, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x - номер 77, страница 35.

Условие.

77. Найти значение функции $y=\frac{1}{|\operatorname{tg} x|}$ при:

1) $x=\frac{5\pi}{6}$;

2) $x=\frac{3\pi}{4}$;

3) $x=-\frac{\pi}{6}$;

4) $x=-\frac{2\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для $x = \frac{5\pi}{6}$:Сначала находим значение $\text{tg}(x)$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй координатной четверти, где тангенс отрицателен. Используя формулу приведения, получаем: $\text{tg}(\frac{5\pi}{6}) = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.Теперь подставляем это значение в исходную функцию: $y = \frac{1}{|\text{tg } x|} = \frac{1}{|-\frac{1}{\sqrt{3}}|} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$.Ответ: $\sqrt{3}$.

2) Для $x = \frac{3\pi}{4}$:Находим значение $\text{tg}(x)$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти, где тангенс отрицателен. Используя формулу приведения: $\text{tg}(\frac{3\pi}{4}) = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.Подставляем значение в функцию: $y = \frac{1}{|\text{tg } x|} = \frac{1}{|-1|} = \frac{1}{1} = 1$.Ответ: $1$.

3) Для $x = -\frac{\pi}{6}$:Находим значение $\text{tg}(x)$. Тангенс является нечетной функцией, поэтому $\text{tg}(-a) = -\text{tg}(a)$.$\text{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.Подставляем значение в функцию: $y = \frac{1}{|\text{tg } x|} = \frac{1}{|-\frac{1}{\sqrt{3}}|} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$.Ответ: $\sqrt{3}$.

4) Для $x = -\frac{2\pi}{3}$:Находим значение $\text{tg}(x)$. Используем свойство нечетности тангенса: $\text{tg}(-\frac{2\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{2\pi}{3})$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, поэтому $\text{tg}(\frac{2\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.Следовательно, $\text{tg}(-\frac{2\pi}{3}) = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$.Подставляем значение в функцию: $y = \frac{1}{|\text{tg } x|} = \frac{1}{|\sqrt{3}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, что дает $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$.Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.