Номер 84, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 84, страница 36.

Условие.

84. Найти все принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$ корни уравнения:

1) $tg x = 3$;

2) $ctg x = -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)
Решим уравнение $tg x = 3$.
Общее решение данного тригонометрического уравнения имеет вид:
$x = \text{arctg}(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь необходимо найти все корни, которые принадлежат заданному промежутку $[0; 3\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно целого числа $k$:
$0 \le \text{arctg}(3) + \pi k \le 3\pi$
Вычтем из всех частей неравенства $\text{arctg}(3)$:
$-\text{arctg}(3) \le \pi k \le 3\pi - \text{arctg}(3)$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{\text{arctg}(3)}{\pi} \le k \le 3 - \frac{\text{arctg}(3)}{\pi}$
По определению арктангенса, для положительного аргумента ($3 > 0$) его значение лежит в интервале $0 < \text{arctg}(3) < \frac{\pi}{2}$. Используем это для оценки границ неравенства для $k$:
$0 < \frac{\text{arctg}(3)}{\pi} < \frac{\pi/2}{\pi} = 0.5$.
Тогда левая граница для $k$ находится в интервале $-0.5 < -\frac{\text{arctg}(3)}{\pi} < 0$.
Правая граница для $k$ находится в интервале $3 - 0.5 < 3 - \frac{\text{arctg}(3)}{\pi} < 3$, то есть $2.5 < 3 - \frac{\text{arctg}(3)}{\pi} < 3$.
Таким образом, целые значения $k$, удовлетворяющие неравенству $-0.5 < k < 3$, это $k = 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие этим значениям $k$ корни уравнения:
- При $k=0$: $x_1 = \text{arctg}(3) + \pi \cdot 0 = \text{arctg}(3)$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$.
- При $k=1$: $x_2 = \text{arctg}(3) + \pi$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$.
- При $k=2$: $x_3 = \text{arctg}(3) + 2\pi$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$.
При $k=3$ корень $x = \text{arctg}(3) + 3\pi$ будет очевидно больше $3\pi$.
Ответ: $\text{arctg}(3); \pi + \text{arctg}(3); 2\pi + \text{arctg}(3)$.

2)
Решим уравнение $\text{ctg } x = -2$.
Общее решение данного тригонометрического уравнения имеет вид:
$x = \text{arcctg}(-2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем все корни, которые принадлежат заданному промежутку $[0; 3\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно целого числа $n$:
$0 \le \text{arcctg}(-2) + \pi n \le 3\pi$
Вычтем из всех частей неравенства $\text{arcctg}(-2)$:
$-\text{arcctg}(-2) \le \pi n \le 3\pi - \text{arcctg}(-2)$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi} \le n \le 3 - \frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi}$
По определению арккотангенса, для отрицательного аргумента ($-2 < 0$) его значение лежит в интервале $\frac{\pi}{2} < \text{arcctg}(-2) < \pi$. Используем это для оценки границ неравенства для $n$:
$0.5 = \frac{\pi/2}{\pi} < \frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi} < \frac{\pi}{\pi} = 1$.
Тогда левая граница для $n$ находится в интервале $-1 < -\frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi} < -0.5$.
Правая граница для $n$ находится в интервале $3 - 1 < 3 - \frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi} < 3 - 0.5$, то есть $2 < 3 - \frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi} < 2.5$.
Таким образом, целые значения $n$, удовлетворяющие неравенству $-1 < n < 2.5$, это $n = 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие этим значениям $n$ корни уравнения:
- При $n=0$: $x_1 = \text{arcctg}(-2) + \pi \cdot 0 = \text{arcctg}(-2)$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$.
- При $n=1$: $x_2 = \text{arcctg}(-2) + \pi$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$.
- При $n=2$: $x_3 = \text{arcctg}(-2) + 2\pi$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$, так как $2\pi + \text{arcctg}(-2) < 2\pi + \pi = 3\pi$.
При $n=3$ корень $x = \text{arcctg}(-2) + 3\pi$ будет очевидно больше $3\pi$.
Ответ: $\text{arcctg}(-2); \pi + \text{arcctg}(-2); 2\pi + \text{arcctg}(-2)$.