Номер 86, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 86, страница 36.
№86 (с. 36)
Условие. №86 (с. 36)
скриншот условия

86. Решить неравенство:
1) $\cot x > 4$;
2) $\tan x \le 5$;
3) $\cot x < -4$;
4) $\tan x \ge -5$.
Решение 1. №86 (с. 36)




Решение 2. №86 (с. 36)

Решение 3. №86 (с. 36)
1) ctg x > 4;
Функция $y = \operatorname{ctg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x$, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На каждом интервале своей области определения $( \pi n, \pi(n+1) )$ функция является строго убывающей.
Рассмотрим решение на основном интервале $(0, \pi)$. Сначала найдем корень уравнения $\operatorname{ctg} x = 4$. Решением является $x = \operatorname{arcctg}(4)$.
Так как функция $\operatorname{ctg} x$ убывает, неравенство $\operatorname{ctg} x > 4$ будет выполняться для тех значений $x$, которые меньше $\operatorname{arcctg}(4)$. Учитывая левую границу области определения на данном интервале ($x > 0$), получаем решение: $0 < x < \operatorname{arcctg}(4)$.
Добавляя период, получаем общее решение неравенства.
Ответ: $\pi n < x < \operatorname{arcctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) tg x ≤ 5;
Функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На каждом интервале своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ функция является строго возрастающей.
Рассмотрим решение на основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Найдем корень уравнения $\operatorname{tg} x = 5$. Решением является $x = \operatorname{arctg}(5)$.
Так как функция $\operatorname{tg} x$ возрастает, неравенство $\operatorname{tg} x \le 5$ будет выполняться для тех значений $x$, которые меньше или равны $\operatorname{arctg}(5)$. Учитывая левую границу области определения на данном интервале ($x > -\frac{\pi}{2}$), получаем решение: $-\frac{\pi}{2} < x \le \operatorname{arctg}(5)$.
Добавляя период, получаем общее решение неравенства.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \operatorname{arctg}(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
3) ctg x < -4;
Функция $y = \operatorname{ctg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На интервале $(0, \pi)$ функция является строго убывающей.
Найдем корень уравнения $\operatorname{ctg} x = -4$. Решением является $x = \operatorname{arcctg}(-4)$. Значение $\operatorname{arcctg}(-4)$ находится во второй четверти, то есть $\frac{\pi}{2} < \operatorname{arcctg}(-4) < \pi$.
Поскольку функция $\operatorname{ctg} x$ убывает, неравенство $\operatorname{ctg} x < -4$ будет выполняться для тех значений $x$, которые больше $\operatorname{arcctg}(-4)$. Учитывая правую границу области определения на данном интервале ($x < \pi$), получаем решение: $\operatorname{arcctg}(-4) < x < \pi$.
Добавляя период, получаем общее решение неравенства.
Ответ: $\operatorname{arcctg}(-4) + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
4) tg x ≥ -5.
Функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция является строго возрастающей.
Найдем корень уравнения $\operatorname{tg} x = -5$. Решением является $x = \operatorname{arctg}(-5)$. Значение $\operatorname{arctg}(-5)$ находится в четвертой четверти, то есть $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}(-5) < 0$.
Так как функция $\operatorname{tg} x$ возрастает, неравенство $\operatorname{tg} x \ge -5$ будет выполняться для тех значений $x$, которые больше или равны $\operatorname{arctg}(-5)$. Учитывая правую границу области определения на данном интервале ($x < \frac{\pi}{2}$), получаем решение: $\operatorname{arctg}(-5) \le x < \frac{\pi}{2}$.
Добавляя период, получаем общее решение неравенства.
Ответ: $\operatorname{arctg}(-5) + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 86 расположенного на странице 36 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №86 (с. 36), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.