Номер 86, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x - номер 86, страница 36.

Условие.

86. Решить неравенство:

1) $\cot x > 4$;

2) $\tan x \le 5$;

3) $\cot x < -4$;

4) $\tan x \ge -5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) ctg x > 4;

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x$, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На каждом интервале своей области определения $( \pi n, \pi(n+1) )$ функция является строго убывающей.

Рассмотрим решение на основном интервале $(0, \pi)$. Сначала найдем корень уравнения $\operatorname{ctg} x = 4$. Решением является $x = \operatorname{arcctg}(4)$.

Так как функция $\operatorname{ctg} x$ убывает, неравенство $\operatorname{ctg} x > 4$ будет выполняться для тех значений $x$, которые меньше $\operatorname{arcctg}(4)$. Учитывая левую границу области определения на данном интервале ($x > 0$), получаем решение: $0 < x < \operatorname{arcctg}(4)$.

Добавляя период, получаем общее решение неравенства.

Ответ: $\pi n < x < \operatorname{arcctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) tg x ≤ 5;

Функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На каждом интервале своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ функция является строго возрастающей.

Рассмотрим решение на основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Найдем корень уравнения $\operatorname{tg} x = 5$. Решением является $x = \operatorname{arctg}(5)$.

Так как функция $\operatorname{tg} x$ возрастает, неравенство $\operatorname{tg} x \le 5$ будет выполняться для тех значений $x$, которые меньше или равны $\operatorname{arctg}(5)$. Учитывая левую границу области определения на данном интервале ($x > -\frac{\pi}{2}$), получаем решение: $-\frac{\pi}{2} < x \le \operatorname{arctg}(5)$.

Добавляя период, получаем общее решение неравенства.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \operatorname{arctg}(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) ctg x < -4;

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На интервале $(0, \pi)$ функция является строго убывающей.

Найдем корень уравнения $\operatorname{ctg} x = -4$. Решением является $x = \operatorname{arcctg}(-4)$. Значение $\operatorname{arcctg}(-4)$ находится во второй четверти, то есть $\frac{\pi}{2} < \operatorname{arcctg}(-4) < \pi$.

Поскольку функция $\operatorname{ctg} x$ убывает, неравенство $\operatorname{ctg} x < -4$ будет выполняться для тех значений $x$, которые больше $\operatorname{arcctg}(-4)$. Учитывая правую границу области определения на данном интервале ($x < \pi$), получаем решение: $\operatorname{arcctg}(-4) < x < \pi$.

Добавляя период, получаем общее решение неравенства.

Ответ: $\operatorname{arcctg}(-4) + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) tg x ≥ -5.

Функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция является строго возрастающей.

Найдем корень уравнения $\operatorname{tg} x = -5$. Решением является $x = \operatorname{arctg}(-5)$. Значение $\operatorname{arctg}(-5)$ находится в четвертой четверти, то есть $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}(-5) < 0$.

Так как функция $\operatorname{tg} x$ возрастает, неравенство $\operatorname{tg} x \ge -5$ будет выполняться для тех значений $x$, которые больше или равны $\operatorname{arctg}(-5)$. Учитывая правую границу области определения на данном интервале ($x < \frac{\pi}{2}$), получаем решение: $\operatorname{arctg}(-5) \le x < \frac{\pi}{2}$.

Добавляя период, получаем общее решение неравенства.

Ответ: $\operatorname{arctg}(-5) + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.