Номер 85, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x - номер 85, страница 36.

Условие.

85. Найти все принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$ решения не-

равенства:

1) $\text{tg} x \geq 3$;

2) $\text{tg} x < 4$;

3) $\text{tg} x \leq -4$;

4) $\text{tg} x > -3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) tg x ≥ 3

Общее решение неравенства $\tg x \ge a$ имеет вид $\arctan a + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для данного неравенства общее решение: $\arctan 3 + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти решения, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$, рассмотрим различные целые значения $k$:
• При $k=0$: получаем промежуток $[\arctan 3, \frac{\pi}{2})$. Так как $0 < \arctan 3 < \frac{\pi}{2}$, этот промежуток полностью входит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=1$: получаем промежуток $[\arctan 3 + \pi, \frac{3\pi}{2})$. Этот промежуток полностью входит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=2$: получаем промежуток $[\arctan 3 + 2\pi, \frac{5\pi}{2})$. Этот промежуток также полностью входит в $[0; 3\pi]$, поскольку $\frac{5\pi}{2} = 2.5\pi < 3\pi$.
• При $k \ge 3$: начало промежутка, например при $k=3$, $\arctan 3 + 3\pi$, уже больше $3\pi$.
• При $k < 0$: решения будут отрицательными и не войдут в заданный промежуток.
Объединяя все найденные промежутки, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [\arctan 3, \frac{\pi}{2}) \cup [\arctan 3 + \pi, \frac{3\pi}{2}) \cup [\arctan 3 + 2\pi, \frac{5\pi}{2})$.

2) tg x < 4

Общее решение неравенства $\tg x < a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \arctan a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для данного неравенства общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \arctan 4 + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем решения на промежутке $[0; 3\pi]$, перебирая целые значения $k$ и пересекая полученные интервалы с $[0; 3\pi]$:
• При $k=0$: интервал $(-\frac{\pi}{2}, \arctan 4)$. Пересечение с $[0; 3\pi]$ дает $[0, \arctan 4)$.
• При $k=1$: интервал $(\frac{\pi}{2}, \arctan 4 + \pi)$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=2$: интервал $(\frac{3\pi}{2}, \arctan 4 + 2\pi)$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=3$: интервал $(\frac{5\pi}{2}, \arctan 4 + 3\pi)$. Пересечение с $[0; 3\pi]$ дает $(\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$, так как $\tg(3\pi)=0 < 4$.
При других значениях $k$ решений в заданном промежутке нет.
Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in [0, \arctan 4) \cup (\frac{\pi}{2}, \arctan 4 + \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, \arctan 4 + 2\pi) \cup (\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$.

3) tg x ≤ -4

Общее решение неравенства $\tg x \le a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le \arctan a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для $\tg x \le -4$ общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le \arctan(-4) + \pi k$. Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan a$, получаем: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le -\arctan 4 + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем решения на промежутке $[0; 3\pi]$:
• При $k=0$: интервал $(-\frac{\pi}{2}, -\arctan 4]$. Он полностью отрицательный, решений в $[0; 3\pi]$ нет.
• При $k=1$: получаем $(\frac{\pi}{2}, \pi - \arctan 4]$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=2$: получаем $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi - \arctan 4]$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=3$: получаем $(\frac{5\pi}{2}, 3\pi - \arctan 4]$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k \ge 4$: начало промежутка, например при $k=4$, $\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi$, больше $3\pi$.
Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi - \arctan 4] \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi - \arctan 4] \cup (\frac{5\pi}{2}, 3\pi - \arctan 4]$.

4) tg x > -3

Общее решение неравенства $\tg x > a$ имеет вид $\arctan a + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для $\tg x > -3$ общее решение: $\arctan(-3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $-\arctan 3 + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем решения на промежутке $[0; 3\pi]$:
• При $k=0$: интервал $(-\arctan 3, \frac{\pi}{2})$. Пересечение с $[0; 3\pi]$ дает $[0, \frac{\pi}{2})$.
• При $k=1$: интервал $(\pi - \arctan 3, \frac{3\pi}{2})$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=2$: интервал $(2\pi - \arctan 3, \frac{5\pi}{2})$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=3$: интервал $(3\pi - \arctan 3, \frac{7\pi}{2})$. Пересечение с $[0; 3\pi]$ дает $(3\pi - \arctan 3, 3\pi]$, так как $\tg(3\pi)=0 > -3$.
При других значениях $k$ решений в заданном промежутке нет.
Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi - \arctan 3, \frac{3\pi}{2}) \cup (2\pi - \arctan 3, \frac{5\pi}{2}) \cup (3\pi - \arctan 3, 3\pi]$.