Страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

84. Найти все принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$ корни уравнения:

1) $tg x = 3$;

2) $ctg x = -2$.

1)
Решим уравнение $tg x = 3$.
Общее решение данного тригонометрического уравнения имеет вид:
$x = \text{arctg}(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь необходимо найти все корни, которые принадлежат заданному промежутку $[0; 3\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно целого числа $k$:
$0 \le \text{arctg}(3) + \pi k \le 3\pi$
Вычтем из всех частей неравенства $\text{arctg}(3)$:
$-\text{arctg}(3) \le \pi k \le 3\pi - \text{arctg}(3)$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{\text{arctg}(3)}{\pi} \le k \le 3 - \frac{\text{arctg}(3)}{\pi}$
По определению арктангенса, для положительного аргумента ($3 > 0$) его значение лежит в интервале $0 < \text{arctg}(3) < \frac{\pi}{2}$. Используем это для оценки границ неравенства для $k$:
$0 < \frac{\text{arctg}(3)}{\pi} < \frac{\pi/2}{\pi} = 0.5$.
Тогда левая граница для $k$ находится в интервале $-0.5 < -\frac{\text{arctg}(3)}{\pi} < 0$.
Правая граница для $k$ находится в интервале $3 - 0.5 < 3 - \frac{\text{arctg}(3)}{\pi} < 3$, то есть $2.5 < 3 - \frac{\text{arctg}(3)}{\pi} < 3$.
Таким образом, целые значения $k$, удовлетворяющие неравенству $-0.5 < k < 3$, это $k = 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие этим значениям $k$ корни уравнения:
- При $k=0$: $x_1 = \text{arctg}(3) + \pi \cdot 0 = \text{arctg}(3)$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$.
- При $k=1$: $x_2 = \text{arctg}(3) + \pi$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$.
- При $k=2$: $x_3 = \text{arctg}(3) + 2\pi$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$.
При $k=3$ корень $x = \text{arctg}(3) + 3\pi$ будет очевидно больше $3\pi$.
Ответ: $\text{arctg}(3); \pi + \text{arctg}(3); 2\pi + \text{arctg}(3)$.

2)
Решим уравнение $\text{ctg } x = -2$.
Общее решение данного тригонометрического уравнения имеет вид:
$x = \text{arcctg}(-2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем все корни, которые принадлежат заданному промежутку $[0; 3\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно целого числа $n$:
$0 \le \text{arcctg}(-2) + \pi n \le 3\pi$
Вычтем из всех частей неравенства $\text{arcctg}(-2)$:
$-\text{arcctg}(-2) \le \pi n \le 3\pi - \text{arcctg}(-2)$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi} \le n \le 3 - \frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi}$
По определению арккотангенса, для отрицательного аргумента ($-2 < 0$) его значение лежит в интервале $\frac{\pi}{2} < \text{arcctg}(-2) < \pi$. Используем это для оценки границ неравенства для $n$:
$0.5 = \frac{\pi/2}{\pi} < \frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi} < \frac{\pi}{\pi} = 1$.
Тогда левая граница для $n$ находится в интервале $-1 < -\frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi} < -0.5$.
Правая граница для $n$ находится в интервале $3 - 1 < 3 - \frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi} < 3 - 0.5$, то есть $2 < 3 - \frac{\text{arcctg}(-2)}{\pi} < 2.5$.
Таким образом, целые значения $n$, удовлетворяющие неравенству $-1 < n < 2.5$, это $n = 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие этим значениям $n$ корни уравнения:
- При $n=0$: $x_1 = \text{arcctg}(-2) + \pi \cdot 0 = \text{arcctg}(-2)$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$.
- При $n=1$: $x_2 = \text{arcctg}(-2) + \pi$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$.
- При $n=2$: $x_3 = \text{arcctg}(-2) + 2\pi$. Этот корень входит в промежуток $[0; 3\pi]$, так как $2\pi + \text{arcctg}(-2) < 2\pi + \pi = 3\pi$.
При $n=3$ корень $x = \text{arcctg}(-2) + 3\pi$ будет очевидно больше $3\pi$.
Ответ: $\text{arcctg}(-2); \pi + \text{arcctg}(-2); 2\pi + \text{arcctg}(-2)$.

85. Найти все принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$ решения не-

равенства:

1) $\text{tg} x \geq 3$;

2) $\text{tg} x < 4$;

3) $\text{tg} x \leq -4$;

4) $\text{tg} x > -3$.

1) tg x ≥ 3

Общее решение неравенства $\tg x \ge a$ имеет вид $\arctan a + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для данного неравенства общее решение: $\arctan 3 + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти решения, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$, рассмотрим различные целые значения $k$:
• При $k=0$: получаем промежуток $[\arctan 3, \frac{\pi}{2})$. Так как $0 < \arctan 3 < \frac{\pi}{2}$, этот промежуток полностью входит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=1$: получаем промежуток $[\arctan 3 + \pi, \frac{3\pi}{2})$. Этот промежуток полностью входит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=2$: получаем промежуток $[\arctan 3 + 2\pi, \frac{5\pi}{2})$. Этот промежуток также полностью входит в $[0; 3\pi]$, поскольку $\frac{5\pi}{2} = 2.5\pi < 3\pi$.
• При $k \ge 3$: начало промежутка, например при $k=3$, $\arctan 3 + 3\pi$, уже больше $3\pi$.
• При $k < 0$: решения будут отрицательными и не войдут в заданный промежуток.
Объединяя все найденные промежутки, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [\arctan 3, \frac{\pi}{2}) \cup [\arctan 3 + \pi, \frac{3\pi}{2}) \cup [\arctan 3 + 2\pi, \frac{5\pi}{2})$.

2) tg x < 4

Общее решение неравенства $\tg x < a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \arctan a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для данного неравенства общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \arctan 4 + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем решения на промежутке $[0; 3\pi]$, перебирая целые значения $k$ и пересекая полученные интервалы с $[0; 3\pi]$:
• При $k=0$: интервал $(-\frac{\pi}{2}, \arctan 4)$. Пересечение с $[0; 3\pi]$ дает $[0, \arctan 4)$.
• При $k=1$: интервал $(\frac{\pi}{2}, \arctan 4 + \pi)$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=2$: интервал $(\frac{3\pi}{2}, \arctan 4 + 2\pi)$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=3$: интервал $(\frac{5\pi}{2}, \arctan 4 + 3\pi)$. Пересечение с $[0; 3\pi]$ дает $(\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$, так как $\tg(3\pi)=0 < 4$.
При других значениях $k$ решений в заданном промежутке нет.
Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in [0, \arctan 4) \cup (\frac{\pi}{2}, \arctan 4 + \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, \arctan 4 + 2\pi) \cup (\frac{5\pi}{2}, 3\pi]$.

3) tg x ≤ -4

Общее решение неравенства $\tg x \le a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le \arctan a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для $\tg x \le -4$ общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le \arctan(-4) + \pi k$. Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan a$, получаем: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le -\arctan 4 + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем решения на промежутке $[0; 3\pi]$:
• При $k=0$: интервал $(-\frac{\pi}{2}, -\arctan 4]$. Он полностью отрицательный, решений в $[0; 3\pi]$ нет.
• При $k=1$: получаем $(\frac{\pi}{2}, \pi - \arctan 4]$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=2$: получаем $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi - \arctan 4]$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=3$: получаем $(\frac{5\pi}{2}, 3\pi - \arctan 4]$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k \ge 4$: начало промежутка, например при $k=4$, $\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi$, больше $3\pi$.
Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi - \arctan 4] \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi - \arctan 4] \cup (\frac{5\pi}{2}, 3\pi - \arctan 4]$.

4) tg x > -3

Общее решение неравенства $\tg x > a$ имеет вид $\arctan a + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для $\tg x > -3$ общее решение: $\arctan(-3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $-\arctan 3 + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем решения на промежутке $[0; 3\pi]$:
• При $k=0$: интервал $(-\arctan 3, \frac{\pi}{2})$. Пересечение с $[0; 3\pi]$ дает $[0, \frac{\pi}{2})$.
• При $k=1$: интервал $(\pi - \arctan 3, \frac{3\pi}{2})$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=2$: интервал $(2\pi - \arctan 3, \frac{5\pi}{2})$. Этот промежуток полностью лежит в $[0; 3\pi]$.
• При $k=3$: интервал $(3\pi - \arctan 3, \frac{7\pi}{2})$. Пересечение с $[0; 3\pi]$ дает $(3\pi - \arctan 3, 3\pi]$, так как $\tg(3\pi)=0 > -3$.
При других значениях $k$ решений в заданном промежутке нет.
Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi - \arctan 3, \frac{3\pi}{2}) \cup (2\pi - \arctan 3, \frac{5\pi}{2}) \cup (3\pi - \arctan 3, 3\pi]$.

86. Решить неравенство:

1) $\cot x > 4$;

2) $\tan x \le 5$;

3) $\cot x < -4$;

4) $\tan x \ge -5$.

1) ctg x > 4;

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x$, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На каждом интервале своей области определения $( \pi n, \pi(n+1) )$ функция является строго убывающей.

Рассмотрим решение на основном интервале $(0, \pi)$. Сначала найдем корень уравнения $\operatorname{ctg} x = 4$. Решением является $x = \operatorname{arcctg}(4)$.

Так как функция $\operatorname{ctg} x$ убывает, неравенство $\operatorname{ctg} x > 4$ будет выполняться для тех значений $x$, которые меньше $\operatorname{arcctg}(4)$. Учитывая левую границу области определения на данном интервале ($x > 0$), получаем решение: $0 < x < \operatorname{arcctg}(4)$.

Добавляя период, получаем общее решение неравенства.

Ответ: $\pi n < x < \operatorname{arcctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) tg x ≤ 5;

Функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На каждом интервале своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ функция является строго возрастающей.

Рассмотрим решение на основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Найдем корень уравнения $\operatorname{tg} x = 5$. Решением является $x = \operatorname{arctg}(5)$.

Так как функция $\operatorname{tg} x$ возрастает, неравенство $\operatorname{tg} x \le 5$ будет выполняться для тех значений $x$, которые меньше или равны $\operatorname{arctg}(5)$. Учитывая левую границу области определения на данном интервале ($x > -\frac{\pi}{2}$), получаем решение: $-\frac{\pi}{2} < x \le \operatorname{arctg}(5)$.

Добавляя период, получаем общее решение неравенства.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \le \operatorname{arctg}(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) ctg x < -4;

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На интервале $(0, \pi)$ функция является строго убывающей.

Найдем корень уравнения $\operatorname{ctg} x = -4$. Решением является $x = \operatorname{arcctg}(-4)$. Значение $\operatorname{arcctg}(-4)$ находится во второй четверти, то есть $\frac{\pi}{2} < \operatorname{arcctg}(-4) < \pi$.

Поскольку функция $\operatorname{ctg} x$ убывает, неравенство $\operatorname{ctg} x < -4$ будет выполняться для тех значений $x$, которые больше $\operatorname{arcctg}(-4)$. Учитывая правую границу области определения на данном интервале ($x < \pi$), получаем решение: $\operatorname{arcctg}(-4) < x < \pi$.

Добавляя период, получаем общее решение неравенства.

Ответ: $\operatorname{arcctg}(-4) + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) tg x ≥ -5.

Функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет период $T = \pi$ и определена для всех $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция является строго возрастающей.

Найдем корень уравнения $\operatorname{tg} x = -5$. Решением является $x = \operatorname{arctg}(-5)$. Значение $\operatorname{arctg}(-5)$ находится в четвертой четверти, то есть $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}(-5) < 0$.

Так как функция $\operatorname{tg} x$ возрастает, неравенство $\operatorname{tg} x \ge -5$ будет выполняться для тех значений $x$, которые больше или равны $\operatorname{arctg}(-5)$. Учитывая правую границу области определения на данном интервале ($x < \frac{\pi}{2}$), получаем решение: $\operatorname{arctg}(-5) \le x < \frac{\pi}{2}$.

Добавляя период, получаем общее решение неравенства.

Ответ: $\operatorname{arctg}(-5) + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

87. Найти все принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ корни уравнения:

1) $tg 2x = \sqrt{3}$;

2) $tg \frac{x}{3} = -1$;

3) $ctg \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$;

4) $ctg 3x = 1$.

1) Решим уравнение $\text{tg} \, 2x = \sqrt{3}$.

Общее решение уравнения $\text{tg} \, \alpha = a$ имеет вид $\alpha = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $a = \sqrt{3}$. Поскольку $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} < \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < \frac{1}{6} + \frac{n}{2} < 1$

Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:

$-\frac{1}{2} - \frac{1}{6} < \frac{n}{2} < 1 - \frac{1}{6}$

$-\frac{4}{6} < \frac{n}{2} < \frac{5}{6}$

$-\frac{2}{3} < \frac{n}{2} < \frac{5}{6}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{4}{3} < n < \frac{5}{3}$

Так как $n$ — целое число, то $n \in \{-1, 0, 1\}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$.

При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(0)}{2} = \frac{\pi}{6}$.

При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(1)}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Все три корня принадлежат заданному промежутку.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}$.

2) Решим уравнение $\text{tg} \, \frac{x}{3} = -1$.

Общее решение: $\frac{x}{3} = \text{arctg}(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Умножим обе части на 3:

$x = -\frac{3\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$:

$-\frac{\pi}{2} < -\frac{3\pi}{4} + 3\pi n < \pi$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < -\frac{3}{4} + 3n < 1$

Прибавим $\frac{3}{4}$ ко всем частям:

$-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} < 3n < 1 + \frac{3}{4}$

$\frac{1}{4} < 3n < \frac{7}{4}$

Разделим все части на 3:

$\frac{1}{12} < n < \frac{7}{12}$

В этом интервале нет целых значений $n$. Следовательно, в заданном промежутке нет корней.

Ответ: корней нет.

3) Решим уравнение $\text{ctg} \, \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Общее решение уравнения $\text{ctg} \, \alpha = a$ имеет вид $\alpha = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$ и $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Поскольку $\text{arcctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} + \pi n$

Умножим обе части на 2:

$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n < \pi$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < \frac{4}{3} + 2n < 1$

Вычтем $\frac{4}{3}$ из всех частей:

$-\frac{1}{2} - \frac{4}{3} < 2n < 1 - \frac{4}{3}$

$-\frac{3}{6} - \frac{8}{6} < 2n < \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

$-\frac{11}{6} < 2n < -\frac{1}{3}$

Разделим все части на 2:

$-\frac{11}{12} < n < -\frac{1}{6}$

В этом интервале нет целых значений $n$. Следовательно, в заданном промежутке нет корней.

Ответ: корней нет.

4) Решим уравнение $\text{ctg} \, 3x = 1$.

Общее решение: $3x = \text{arcctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} < \pi$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < \frac{1}{12} + \frac{n}{3} < 1$

Вычтем $\frac{1}{12}$ из всех частей:

$-\frac{1}{2} - \frac{1}{12} < \frac{n}{3} < 1 - \frac{1}{12}$

$-\frac{7}{12} < \frac{n}{3} < \frac{11}{12}$

Умножим все части на 3:

$-\frac{21}{12} < n < \frac{33}{12}$

$-\frac{7}{4} < n < \frac{11}{4}$

$-1.75 < n < 2.75$

Так как $n$ — целое число, то $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(-1)}{3} = \frac{\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} = -\frac{3\pi}{12} = -\frac{\pi}{4}$.

При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(0)}{3} = \frac{\pi}{12}$.

При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(1)}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.

При $n = 2$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(2)}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$.

Все четыре корня принадлежат заданному промежутку.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}$.

88. Найти все принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ решения неравенства:

1) $tg 2x \le 1$;

2) $tg 3x < -\sqrt{3}$;

3) $ctg \frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3}$;

4) $ctg \frac{x}{3} \ge 1$.

1) $\text{tg}\,2x \le 1$

Сначала решим неравенство в общем виде. Введем замену $t = 2x$, тогда неравенство примет вид $\text{tg}\,t \le 1$. Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является серия интервалов: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \text{arctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \frac{\pi}{4} + \pi n$. Сделаем обратную замену $t = 2x$: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x \le \frac{\pi}{4} + \pi n$. Разделим все части неравенства на 2: $-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$. Теперь найдем решения, принадлежащие заданному промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, перебирая целочисленные значения $n$.

• При $n = -1$: $-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2}$, что равносильно $-\frac{3\pi}{4} < x \le -\frac{3\pi}{8}$. Пересечение этого интервала с $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ дает промежуток $(-\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{8}]$.
• При $n = 0$: $-\frac{\pi}{4} < x \le \frac{\pi}{8}$. Этот промежуток полностью принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• При $n = 1$: $-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}$, что равносильно $\frac{\pi}{4} < x \le \frac{5\pi}{8}$. Пересечение этого интервала с $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ дает промежуток $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$.

При других целых значениях $n$ решения не попадают в заданный промежуток. Объединив найденные промежутки, получим итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{8}] \cup (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8}] \cup (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$

2) $\text{tg}\,3x < -\sqrt{3}$

Введем замену $t = 3x$, получим неравенство $\text{tg}\,t < -\sqrt{3}$. Его общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, имеем: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < -\frac{\pi}{3} + \pi n$. Подставим обратно $t = 3x$: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < 3x < -\frac{\pi}{3} + \pi n$. Разделим на 3: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} < x < -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$. Найдем решения, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, перебирая значения $n$.

• При $n = -1$: $-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{3}$, что равносильно $-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{4\pi}{9}$. Этот интервал является решением.
• При $n = 0$: $-\frac{\pi}{6} < x < -\frac{\pi}{9}$. Этот интервал принадлежит заданному промежутку.
• При $n = 1$: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3}$, что равносильно $\frac{\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{9}$. Этот интервал также является решением.

При других целых значениях $n$ решения не попадают в заданный промежуток. Объединим полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{4\pi}{9}) \cup (-\frac{\pi}{6}; -\frac{\pi}{9}) \cup (\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{9})$

3) $\text{ctg}\,\frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3}$

Пусть $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $\text{ctg}\,t < \frac{\sqrt{3}}{3}$. Общее решение этого неравенства: $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем: $\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \pi + \pi n$. Поскольку по условию $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то для $t=\frac{x}{2}$ имеем $t \in (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$. Найдем пересечение множества решений для $t$ с интервалом $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

• При $n = 0$ интервал $(\frac{\pi}{3}; \pi)$ не имеет общих точек с $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.
• При $n = -1$ имеем интервал $(\frac{\pi}{3} - \pi; \pi - \pi)$, то есть $(-\frac{2\pi}{3}; 0)$. Пересечение этого интервала с $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$ дает $(-\frac{\pi}{4}; 0)$.

При других значениях $n$ пересечений нет. Таким образом, решением для $t$ является интервал $-\frac{\pi}{4} < t < 0$. Сделаем обратную замену: $-\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < 0$. Умножим на 2: $-\frac{\pi}{2} < x < 0$. Этот интервал и является решением задачи.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}; 0)$

4) $\text{ctg}\,\frac{x}{3} \ge 1$

Пусть $t = \frac{x}{3}$. Неравенство примет вид $\text{ctg}\,t \ge 1$. Общее решение этого неравенства: $\pi n < t \le \text{arcctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $\pi n < t \le \frac{\pi}{4} + \pi n$. По условию $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, следовательно, $t = \frac{x}{3} \in (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$. Найдем пересечение общего решения для $t$ с интервалом $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$.

• При $n = 0$ получаем интервал $(0; \frac{\pi}{4}]$. Пересечение этого интервала с $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$ дает $(0; \frac{\pi}{6})$.

При других целых значениях $n$ пересечений с интервалом $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$ не будет. Таким образом, решением для $t$ является $0 < t < \frac{\pi}{6}$. Сделаем обратную замену: $0 < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{6}$. Умножим на 3: $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Этот интервал и является решением задачи.

Ответ: $x \in (0; \frac{\pi}{2})$

89. Построить график и выяснить свойства функции:

1) $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

2) $y = \text{tg}\frac{x}{2};$

3) $y = \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

4) $y = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right).$

1) $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{4})$

Построение графика: График функции $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{4})$ получается из графика функции $y = \text{tg}x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$ влево.

Свойства функции:

• Область определения: Аргумент тангенса $x + \frac{\pi}{4}$ не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
  $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ за исключением точек $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Периодичность: Функция периодическая, основной период $T = \pi$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
  $y(-x) = \text{tg}(-x + \frac{\pi}{4}) \neq \pm y(x)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y = 0$ при $\text{tg}(x + \frac{\pi}{4}) = 0$.
  $x + \frac{\pi}{4} = \pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
  $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из интервалов области определения, например, на $(-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{4})$ — это тангенсоида $y=\text{tg}x$, сдвинутая влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Период $T=\pi$. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Нули функции $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \text{tg}\frac{x}{2}$

Построение графика: График функции $y = \text{tg}\frac{x}{2}$ получается из графика функции $y = \text{tg}x$ путем растяжения вдоль оси абсцисс в 2 раза.

Свойства функции:

• Область определения: Аргумент тангенса $\frac{x}{2}$ не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ за исключением точек $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Периодичность: Функция периодическая, основной период $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
• Четность: Функция нечетная.
  $y(-x) = \text{tg}(\frac{-x}{2}) = -\text{tg}(\frac{x}{2}) = -y(x)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y = 0$ при $\text{tg}(\frac{x}{2}) = 0$.
  $\frac{x}{2} = \pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in (2\pi n; \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
  $y < 0$ при $x \in (-\pi + 2\pi n; 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из интервалов области определения, например, на $(-\pi; \pi)$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\frac{x}{2}$ — это тангенсоида $y=\text{tg}x$, растянутая в 2 раза вдоль оси Ox. Период $T=2\pi$. Вертикальные асимптоты $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Нули функции $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Функция нечетная.

3) $y = \text{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$

Построение графика: График функции $y = \text{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \text{ctg}x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

Свойства функции:

• Область определения: Аргумент котангенса $x - \frac{\pi}{3}$ не должен быть равен $\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $x - \frac{\pi}{3} \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ за исключением точек $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Периодичность: Функция периодическая, основной период $T = \pi$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
  $y(-x) = \text{ctg}(-x - \frac{\pi}{3}) \neq \pm y(x)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y = 0$ при $\text{ctg}(x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
  $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
  $y < 0$ при $x \in (\frac{5\pi}{6} + \pi n; \frac{4\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов области определения, например, на $(\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$ — это котангенсоида $y=\text{ctg}x$, сдвинутая вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$. Период $T=\pi$. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Нули функции $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \text{ctg}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4})$

Данная функция является константой, так как ее аргумент не содержит переменной $x$.
Вычислим значение этой константы:
$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi + 3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.
$y = \text{ctg}(\frac{7\pi}{12}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\text{ctg}(\frac{\pi}{3})\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) - 1}{\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) + \text{ctg}(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 - 1}{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+3} = \frac{(\sqrt{3}-3)^2}{(\sqrt{3})^2-3^2} = \frac{3-6\sqrt{3}+9}{3-9} = \frac{12-6\sqrt{3}}{-6} = \sqrt{3}-2$.
Таким образом, функция имеет вид $y = \sqrt{3}-2$.

Построение графика: График функции $y = \sqrt{3}-2$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку $(0; \sqrt{3}-2)$ на оси ординат (Oy). Приближенное значение $y \approx 1.732 - 2 = -0.268$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = \{\sqrt{3}-2\}$.
• Периодичность: Функция является константой, поэтому она периодична с любым периодом $T>0$, но не имеет основного периода.
• Четность: Функция четная, так как $y(-x) = \sqrt{3}-2 = y(x)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): Нет, так как $y = \sqrt{3}-2 \neq 0$.
• Вертикальные асимптоты: Нет.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, так как $\sqrt{3}-2 < 0$.
• Промежутки монотонности: Функция постоянна на всей области определения.

Ответ: Данная функция является постоянной: $y = \text{ctg}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}-2$. Ее график — прямая, параллельная оси Ox, проходящая ниже оси Ox на расстоянии $|\sqrt{3}-2| \approx 0.268$. Функция определена для всех $x$, четная, не имеет нулей и асимптот.

90. Найти множество значений функции $y = \operatorname{tg} x$, если $x$ принадлежит промежутку:

1) $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}];$

2) $(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2});$

3) $(0; \pi);$

4) $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}].$

1)Для нахождения множества значений функции $y=\tan x$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$ проанализируем поведение функции.
Функция $y=\tan x$ является непрерывной и строго возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Заданный отрезок $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$ полностью принадлежит этому интервалу.
Следовательно, наименьшее значение функция примет в левой точке отрезка, а наибольшее — в правой.
Найдем значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{min} = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
Наибольшее значение: $y_{max} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Так как функция непрерывна на отрезке, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением. Таким образом, множество значений функции на данном отрезке — это отрезок от $y_{min}$ до $y_{max}$.
Ответ: $[-1; \sqrt{3}]$.

2)Рассмотрим промежуток $x \in (\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$.
На этом интервале функция $y=\tan x$ непрерывна и строго возрастает (этот интервал является частью большего интервала монотонности $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$).
Чтобы найти множество значений, найдем значения функции на границах заданного интервала.
Значение в левой точке (не включая): $y = \tan(\frac{3\pi}{4}) = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$.
Предел в правой точке: точка $x = \frac{3\pi}{2}$ является вертикальной асимптотой для функции $\tan x$. При приближении $x$ к $\frac{3\pi}{2}$ слева ($x \to (\frac{3\pi}{2})^-$), значение функции стремится к плюс бесконечности: $\tan x \to +\infty$.
Поскольку функция строго возрастает на интервале $(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$, ее значения будут лежать в интервале от $\tan(\frac{3\pi}{4})$ до $+\infty$.
Ответ: $(-1; +\infty)$.

3)Рассмотрим промежуток $x \in (0; \pi)$.
Этот промежуток содержит точку разрыва функции $y=\tan x$ при $x=\frac{\pi}{2}$. Поэтому необходимо рассмотреть поведение функции на двух подинтервалах: $(0; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.
На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ функция $\tan x$ строго возрастает. При $x \to 0^+$, $\tan x \to \tan(0) = 0$. При $x \to (\frac{\pi}{2})^-$, $\tan x \to +\infty$. Множество значений на этом интервале: $(0; +\infty)$.
На интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ функция $\tan x$ также строго возрастает. При $x \to (\frac{\pi}{2})^+$, $\tan x \to -\infty$. При $x \to \pi^-$, $\tan x \to \tan(\pi) = 0$. Множество значений на этом интервале: $(-\infty; 0)$.
Общее множество значений функции на интервале $(0; \pi)$ является объединением множеств значений на этих двух подинтервалах.
$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4)Рассмотрим промежуток $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.
Этот промежуток содержит точку разрыва функции $y=\tan x$ при $x=\frac{\pi}{2}$. Разобьем его на два промежутка, на каждом из которых функция непрерывна: $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$.
На промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ функция $\tan x$ строго возрастает. Значение в левой точке: $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. При $x \to (\frac{\pi}{2})^-$, $\tan x \to +\infty$. Множество значений на этом промежутке: $[1; +\infty)$.
На промежутке $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$ функция $\tan x$ также строго возрастает. При $x \to (\frac{\pi}{2})^+$, $\tan x \to -\infty$. Значение в правой точке: $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Множество значений на этом промежутке: $(-\infty; -1]$.
Общее множество значений функции на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$ является объединением множеств значений на этих двух частях.
$E(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Построить график функции (91–93).

91. 1) $y = \operatorname{tg}|x|$; 2) $y = |\operatorname{tg}x|$; 3) $y = \operatorname{ctg}x$; 4) $y = \frac{1}{\operatorname{ctg}x}$.

1) Построить график функции $y=\text{tg}|x|$

Для построения графика функции $y = f(|x|)$ необходимо выполнить следующие преобразования графика функции $y = f(x)$:

1. Построить график функции $y=f(x)$ для $x \ge 0$.

2. Удалить часть графика, которая соответствует значениям $x < 0$.

3. Отразить симметрично относительно оси ординат (OY) ту часть графика, которая соответствует $x \ge 0$.

Применим это правило к функции $y=\text{tg}x$.

1. Строим график $y=\text{tg}x$ для $x \ge 0$. Этот график проходит через начало координат, возрастает на интервале $[0, \pi/2)$ и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое неотрицательное число ($n=0, 1, 2, \dots$).

2. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси OY. Так как исходная функция $y=\text{tg}|x|$ является четной ($ \text{tg}|-x| = \text{tg}|x| $), ее график будет симметричен относительно оси OY.

В результате получим график со следующими свойствами:

- Область определения: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0\}$. Таким образом, $x \ne \pm (\frac{\pi}{2} + n\pi)$ для $n = 0, 1, 2, \dots$.

- Вертикальные асимптоты: прямые $x = \pm(\frac{\pi}{2} + n\pi)$ для $n = 0, 1, 2, \dots$.

- Функция является четной, график симметричен относительно оси OY.

- Функция не является периодической.

- В интервале $(-\pi/2, \pi/2)$ график состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(0,0)$ и стремящихся к $+\infty$ при приближении $x$ к $\pi/2$ справа и к $-\pi/2$ слева.

Ответ: График функции $y=\text{tg}|x|$ получается из графика $y=\text{tg}x$ путем сохранения части графика при $x \ge 0$ и ее симметричного отражения относительно оси OY. График симметричен относительно оси OY и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pm(\frac{\pi}{2} + n\pi)$, где $n$ — неотрицательное целое число.

2) Построить график функции $y=|\text{tg}x|$

Для построения графика функции $y = |f(x)|$ необходимо выполнить следующие преобразования графика функции $y = f(x)$:

1. Части графика $y=f(x)$, которые лежат выше или на оси абсцисс (OX), оставить без изменений.

2. Части графика, которые лежат ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно оси OX.

Применим это правило к функции $y=\text{tg}x$.

1. Строим график $y=\text{tg}x$. Это периодическая функция с периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. В интервалах, где $\text{tg}x \ge 0$ (т.е. $x \in [k\pi, k\pi + \pi/2)$), график $y=|\text{tg}x|$ совпадает с графиком $y=\text{tg}x$.

3. В интервалах, где $\text{tg}x < 0$ (т.е. $x \in (k\pi - \pi/2, k\pi)$), график $y=\text{tg}x$ находится под осью OX. Эту часть графика мы отражаем симметрично относительно оси OX. Например, на интервале $(-\pi/2, 0)$ ветвь тангенса, уходящая в $-\infty$, отражается и становится ветвью, уходящей в $+\infty$ при $x \to -\pi/2^+$.

В результате получим график со следующими свойствами:

- Область определения: та же, что и у тангенса, $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

- Область значений: $y \ge 0$.

- Вертикальные асимптоты: прямые $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

- Функция является периодической с периодом $\pi$, так как $|\text{tg}(x+\pi)|=|\text{tg}x|$.

- График состоит из повторяющихся "U-образных" ветвей, каждая из которых касается оси OX в точках $x=k\pi$ и уходит на бесконечность к асимптотам $x = k\pi \pm \pi/2$.

Ответ: График функции $y=|\text{tg}x|$ получается из графика $y=\text{tg}x$ путем отражения всех частей графика, лежащих ниже оси абсцисс, симметрично относительно этой оси. Это периодическая функция с периодом $\pi$, значения которой всегда неотрицательны.

3) Построить график функции $y=\text{ctg}x$

Функция $y=\text{ctg}x$ (котангенс) является одной из основных тригонометрических функций. Её график называется котангенсоидой. Для построения графика przeанализируем свойства функции.

- Определение: $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

- Область определения: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid \sin x \ne 0\}$, то есть $x \ne k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

- Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

- Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T=\pi$.

- Вертикальные асимптоты: прямые $x=k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$, так как в этих точках знаменатель $\sin x$ обращается в ноль.

- Нули функции: $y=0$ при $\cos x = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

- Монотонность: функция убывает на каждом интервале своей области определения $(k\pi, (k+1)\pi)$.

Для построения графика достаточно построить его на одном периоде, например, на интервале $(0, \pi)$, а затем продолжить периодически. На интервале $(0, \pi)$ график убывает от $+\infty$ (при $x \to 0^+$) до $-\infty$ (при $x \to \pi^-$), пересекая ось OX в точке $x=\pi/2$.

Ответ: График функции $y=\text{ctg}x$ — это котангенсоида. Он состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей. Каждая ветвь расположена между двумя вертикальными асимптотами $x=k\pi$ и $x=(k+1)\pi$, является убывающей и пересекает ось абсцисс в точке $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.

4) Построить график функции $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\text{tg}x = \frac{1}{\text{ctg}x}$. Таким образом, данная функция совпадает с функцией $y=\text{tg}x$ везде, где обе функции определены. Однако их области определения различны.

Найдем область определения функции $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$. Она определена, если:

1. Определен $\text{ctg}x$. Это выполняется при $x \ne k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель не равен нулю, то есть $\text{ctg}x \ne 0$. Это выполняется при $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что область определения $D(y)$ состоит из всех действительных чисел $x$, кроме $x = \frac{n\pi}{2}$ для любого целого $n$.

Теперь рассмотрим область определения функции $y=\text{tg}x$. Она определена при $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сравнивая области определения, видим, что область определения $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$ является более узкой. Из области определения $y=\text{tg}x$ исключены дополнительные точки $x=k\pi$. В этих точках $\text{tg}(k\pi)=0$, но $\text{ctg}(k\pi)$ не определен. Следовательно, в точках $x=k\pi$ функция $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$ не определена.

Таким образом, чтобы построить график функции $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$, нужно:

1. Построить график функции $y=\text{tg}x$ (тангенсоиду).

2. "Выколоть" (удалить) на этом графике точки, абсциссы которых не входят в область определения исходной функции. Это точки, где $\text{ctg}x$ не определен, то есть $x=k\pi$. Значения тангенса в этих точках равны нулю. Значит, мы должны выколоть точки $(k\pi, 0)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y=\frac{1}{\text{ctg}x}$ представляет собой график функции $y=\text{tg}x$ с "выколотыми" точками в местах пересечения с осью абсцисс, то есть в точках с координатами $(k\pi, 0)$ для всех целых чисел $k$.

92. 1) $y = \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x$;

2) $y = \sin x \operatorname{ctg} x$;

3) $y = 2^{\operatorname{tg} x}$;

4) $y = \sqrt{\operatorname{ctg} x}$.

1) $y = \text{tg}x \cdot \text{ctg}x$
Решение: Область определения данной функции ($D(y)$) находится как пересечение областей определения множителей $y_1 = \text{tg}x$ и $y_2 = \text{ctg}x$.
Функция $y_1 = \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена при условии, что ее знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Функция $y_2 = \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена при условии, что ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для того чтобы исходная функция $y = \text{tg}x \cdot \text{ctg}x$ была определена, должны одновременно выполняться оба этих условия:
$\begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{cases}$
Эти два множества ограничений можно объединить в одно. Исключаются точки $0, \pm\frac{\pi}{2}, \pm\pi, \pm\frac{3\pi}{2}, \ldots$, то есть все точки вида $\frac{\pi m}{2}$, где $m$ - любое целое число.
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\}$.

2) $y = \sin x \cdot \text{ctg}x$
Решение: Область определения функции $y = \sin x \cdot \text{ctg}x$ есть пересечение областей определения множителей $y_1 = \sin x$ и $y_2 = \text{ctg}x$.
Функция $y_1 = \sin x$ определена для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.
Функция $y_2 = \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена при условии, что $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, область определения исходной функции совпадает с областью определения функции $\text{ctg}x$.
Важно отметить, что хотя на области определения функцию можно упростить ($y = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$), это преобразование не изменяет исходную область определения. Таким образом, функция $y = \sin x \cdot \text{ctg}x$ совпадает с функцией $y = \cos x$ во всех точках, кроме точек $x = \pi k$, где она не определена.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

3) $y = 2^{\text{tg}x}$
Решение: Данная функция является сложной функцией, представляющей собой показательную функцию $y=2^u$ с основанием 2, где показатель степени $u$ сам является функцией от $x$: $u(x) = \text{tg}x$.
Показательная функция $y = 2^u$ определена для любых действительных значений показателя $u$.
Следовательно, область определения сложной функции $y = 2^{\text{tg}x}$ полностью определяется областью определения внутренней функции $u(x) = \text{tg}x$.
Функция $u(x) = \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена тогда, когда ее знаменатель не равен нулю: $\cos x \neq 0$.
Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

4) $y = \sqrt{\text{ctg}x}$
Решение: Данная функция является сложной функцией, состоящей из внешней функции квадратного корня $y = \sqrt{u}$ и внутренней функции $u(x) = \text{ctg}x$.
Область определения функции квадратного корня требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $u \geq 0$.
Применительно к нашей функции это означает, что должно выполняться неравенство $\text{ctg}x \geq 0$.
Кроме того, сама функция $u(x) = \text{ctg}x$ должна быть определена. Это требует, чтобы $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Решим неравенство $\text{ctg}x \geq 0$. Функция $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ неотрицательна, когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют одинаковые знаки (I и III координатные четверти), либо когда $\text{ctg}x = 0$ (что происходит при $\cos x = 0$ и $\sin x \neq 0$).
1. I четверть: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$. В точке $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ котангенс равен 0. Итак, $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$.
2. III четверть: $x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$. В точке $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ котангенс равен 0. Итак, $x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$.
Эти два семейства промежутков можно объединить, используя периодичность функции $\text{ctg}x$, равную $\pi$. Объединенное решение имеет вид $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$.

93. 1) $y=\text{tg} \left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y=\text{ctg} \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$.

В обоих случаях задача состоит в том, чтобы найти область определения функции. Область определения - это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

1)

Рассмотрим функцию $y = \tg(3x - \frac{\pi}{4})$.

Функция тангенс $y = \tg(z)$ определена для всех значений своего аргумента $z$, кроме тех, в которых косинус равен нулю, так как $\tg(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)}$. Косинус равен нулю при $z = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, для нашей функции должно выполняться условие:

$3x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь решим это неравенство относительно $x$. Сначала перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть, изменив знак:

$3x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$3x \neq \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi k$

$3x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x \neq \frac{3\pi}{4 \cdot 3} + \frac{\pi k}{3}$

$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$ для всех целых $k$.

Ответ: область определения функции $D(y): x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \ctg(2x - \frac{\pi}{3})$.

Функция котангенс $y = \ctg(z)$ определена для всех значений своего аргумента $z$, кроме тех, в которых синус равен нулю, так как $\ctg(z) = \frac{\cos(z)}{\sin(z)}$. Синус равен нулю при $z = \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, для нашей функции должно выполняться условие:

$2x - \frac{\pi}{3} \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Решим это неравенство относительно $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$2x \neq \frac{\pi}{3} + \pi k$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \neq \frac{\pi}{3 \cdot 2} + \frac{\pi k}{2}$

$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$ для всех целых $k$.

Ответ: область определения функции $D(y): x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

94. Решить неравенство:

1) $tg^2 x < 1$;

2) $tg^2 x \ge 3$;

3) $3\sin^2 x + \sin x \cos x > 2$.

1) Решим неравенство $tg^2 x < 1$.

Это неравенство равносильно $(\operatorname{tg} x)^2 < 1$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем неравенство с модулем:

$|\operatorname{tg} x| < 1$.

Данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-1 < \operatorname{tg} x < 1$.

Решим это двойное неравенство. Функция $y = \operatorname{tg} x$ является возрастающей на своем интервале определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x = -1$ и $\operatorname{tg} x = 1$.

$\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \operatorname{arctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$\operatorname{tg} x = -1 \implies x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

Таким образом, решение двойного неравенства $-1 < \operatorname{tg} x < 1$ представляет собой интервалы:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $tg^2 x \geq 3$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|\operatorname{tg} x| \geq \sqrt{3}$.

Это неравенство распадается на два:

$\operatorname{tg} x \geq \sqrt{3}$ или $\operatorname{tg} x \leq -\sqrt{3}$.

Решим каждое неравенство по отдельности, учитывая область определения тангенса $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Для первого неравенства $\operatorname{tg} x \geq \sqrt{3}$:

Так как $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, а функция тангенса возрастает, решение будет:

$\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для второго неравенства $\operatorname{tg} x \leq -\sqrt{3}$:

Так как $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, решение будет:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{3} + \pi n] \cup [\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $3\sin^2 x + \sin x \cos x > 2$.

Используем основное тригонометрическое тождество, представив число 2 как $2 \cdot 1 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$3\sin^2 x + \sin x \cos x > 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x > 0$

$\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x > 0$

Это однородное тригонометрическое неравенство. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\cos x = 0$.

Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, и $\sin^2 x = 1$. Подставим в неравенство:

$1^2 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 > 0 \implies 1 > 0$.

Это верное утверждение, следовательно, все значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются решениями неравенства.

Случай 2: $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части неравенства на $\cos^2 x$. Так как $\cos^2 x > 0$, знак неравенства не изменится.

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} > 0$

$\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - 2 > 0$

Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$. Получим квадратное неравенство:

$t^2 + t - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Парабола $y=t^2+t-2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -2$ или $t > 1$.

Возвращаемся к замене:

$\operatorname{tg} x < -2$ или $\operatorname{tg} x > 1$.

Решим каждое из этих простейших неравенств:

$\operatorname{tg} x > 1 \implies \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

$\operatorname{tg} x < -2 \implies -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \operatorname{arctg}(-2) + \pi n$.

Теперь объединим решения из обоих случаев. Решения из случая 1 ($x = \frac{\pi}{2} + \pi k$) являются граничными точками для интервалов, полученных в случае 2. Поскольку эти точки являются решениями, мы можем включить их в ответ, замкнув соответствующие концы интервалов.

Объединение множества $( \frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n )$ и точек $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ дает полуинтервал $( \frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n ]$.

Точки $x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$ также входят в множество решений из случая 1. Объединение их с интервалами $( -\frac{\pi}{2} + \pi n, \operatorname{arctg}(-2) + \pi n )$ дает полуинтервал $[ -\frac{\pi}{2} + \pi n, \operatorname{arctg}(-2) + \pi n )$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \operatorname{arctg}(-2) + \pi n) \cup (\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.