Страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

74. (Устно.) Выяснить, при каких значениях $x$ из промежутка $-\pi \le x \le 2\pi$ функция $y = \operatorname{tg} x$ принимает:

1) значение, равное 0;

2) положительные значения;

3) отрицательные значения.

Рассмотрим функцию $y = \operatorname{tg}x$ на промежутке $x \in [-\pi; 2\pi]$. Период тангенса равен $\pi$. Область определения тангенса - все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. На заданном промежутке $[-\pi; 2\pi]$ функция не определена в точках $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.

1) значение, равное 0
Функция $y = \operatorname{tg}x$ принимает значение, равное нулю, когда ее числитель, $\sin x$, равен нулю, а знаменатель, $\cos x$, не равен нулю. Решим уравнение $\operatorname{tg}x = 0$. Общее решение этого уравнения имеет вид $x = k\pi$, где $k$ - целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Теперь найдем все значения $k$, при которых $x$ попадает в заданный промежуток $[-\pi; 2\pi]$: $$-\pi \le k\pi \le 2\pi$$ Разделив все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$), получим: $$-1 \le k \le 2$$ Целочисленные значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -1, 0, 1, 2$. Найдем соответствующие значения $x$:

• при $k = -1$: $x = -1 \cdot \pi = -\pi$
• при $k = 0$: $x = 0 \cdot \pi = 0$
• при $k = 1$: $x = 1 \cdot \pi = \pi$
• при $k = 2$: $x = 2 \cdot \pi = 2\pi$

Все эти значения входят в промежуток $[-\pi; 2\pi]$.
Ответ: $x = -\pi; 0; \pi; 2\pi$.

2) положительные значения
Функция $y = \operatorname{tg}x$ принимает положительные значения ($\operatorname{tg}x > 0$), когда $x$ принадлежит первой или третьей координатной четверти. Общее решение неравенства $\operatorname{tg}x > 0$ имеет вид $k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Найдем интервалы, попадающие в заданный промежуток $[-\pi; 2\pi]$:

• при $k = -1$: $-\pi < x < -\frac{\pi}{2}$. Этот интервал полностью лежит в $[-\pi; 2\pi]$.
• при $k = 0$: $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Этот интервал полностью лежит в $[-\pi; 2\pi]$.
• при $k = 1$: $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал полностью лежит в $[-\pi; 2\pi]$.
• при $k = 2$: $2\pi < x < \frac{5\pi}{2}$. Этот интервал не входит в $[-\pi; 2\pi]$.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \cup (0; \frac{\pi}{2}) \cup (\pi; \frac{3\pi}{2})$.

3) отрицательные значения
Функция $y = \operatorname{tg}x$ принимает отрицательные значения ($\operatorname{tg}x < 0$), когда $x$ принадлежит второй или четвертой координатной четверти. Общее решение неравенства $\operatorname{tg}x < 0$ имеет вид $\frac{\pi}{2} + k\pi < x < \pi + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Найдем интервалы, попадающие в заданный промежуток $[-\pi; 2\pi]$:

• при $k = -1$: $-\frac{\pi}{2} < x < 0$. Этот интервал полностью лежит в $[-\pi; 2\pi]$.
• при $k = 0$: $\frac{\pi}{2} < x < \pi$. Этот интервал полностью лежит в $[-\pi; 2\pi]$.
• при $k = 1$: $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$. Этот интервал полностью лежит в $[-\pi; 2\pi]$. Обратите внимание, что $x=2\pi$ не включается, так как неравенство строгое ($\operatorname{tg}(2\pi)=0$).
• при $k = -2$: $-\frac{3\pi}{2} < x < -\pi$. Этот интервал не имеет общих точек с $[-\pi; 2\pi]$ (кроме граничной точки $x=-\pi$, которая не входит в решение).

Объединяя найденные интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}; 0) \cup (\frac{\pi}{2}; \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.