Номер 87, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 87, страница 36.

Условие.

87. Найти все принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$ корни уравнения:

1) $tg 2x = \sqrt{3}$;

2) $tg \frac{x}{3} = -1$;

3) $ctg \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$;

4) $ctg 3x = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $\text{tg} \, 2x = \sqrt{3}$.

Общее решение уравнения $\text{tg} \, \alpha = a$ имеет вид $\alpha = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $a = \sqrt{3}$. Поскольку $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} < \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < \frac{1}{6} + \frac{n}{2} < 1$

Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:

$-\frac{1}{2} - \frac{1}{6} < \frac{n}{2} < 1 - \frac{1}{6}$

$-\frac{4}{6} < \frac{n}{2} < \frac{5}{6}$

$-\frac{2}{3} < \frac{n}{2} < \frac{5}{6}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{4}{3} < n < \frac{5}{3}$

Так как $n$ — целое число, то $n \in \{-1, 0, 1\}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$.

При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(0)}{2} = \frac{\pi}{6}$.

При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(1)}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Все три корня принадлежат заданному промежутку.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}$.

2) Решим уравнение $\text{tg} \, \frac{x}{3} = -1$.

Общее решение: $\frac{x}{3} = \text{arctg}(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Умножим обе части на 3:

$x = -\frac{3\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$:

$-\frac{\pi}{2} < -\frac{3\pi}{4} + 3\pi n < \pi$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < -\frac{3}{4} + 3n < 1$

Прибавим $\frac{3}{4}$ ко всем частям:

$-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} < 3n < 1 + \frac{3}{4}$

$\frac{1}{4} < 3n < \frac{7}{4}$

Разделим все части на 3:

$\frac{1}{12} < n < \frac{7}{12}$

В этом интервале нет целых значений $n$. Следовательно, в заданном промежутке нет корней.

Ответ: корней нет.

3) Решим уравнение $\text{ctg} \, \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Общее решение уравнения $\text{ctg} \, \alpha = a$ имеет вид $\alpha = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$ и $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Поскольку $\text{arcctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} + \pi n$

Умножим обе части на 2:

$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n < \pi$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < \frac{4}{3} + 2n < 1$

Вычтем $\frac{4}{3}$ из всех частей:

$-\frac{1}{2} - \frac{4}{3} < 2n < 1 - \frac{4}{3}$

$-\frac{3}{6} - \frac{8}{6} < 2n < \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

$-\frac{11}{6} < 2n < -\frac{1}{3}$

Разделим все части на 2:

$-\frac{11}{12} < n < -\frac{1}{6}$

В этом интервале нет целых значений $n$. Следовательно, в заданном промежутке нет корней.

Ответ: корней нет.

4) Решим уравнение $\text{ctg} \, 3x = 1$.

Общее решение: $3x = \text{arcctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \pi)$:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} < \pi$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < \frac{1}{12} + \frac{n}{3} < 1$

Вычтем $\frac{1}{12}$ из всех частей:

$-\frac{1}{2} - \frac{1}{12} < \frac{n}{3} < 1 - \frac{1}{12}$

$-\frac{7}{12} < \frac{n}{3} < \frac{11}{12}$

Умножим все части на 3:

$-\frac{21}{12} < n < \frac{33}{12}$

$-\frac{7}{4} < n < \frac{11}{4}$

$-1.75 < n < 2.75$

Так как $n$ — целое число, то $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(-1)}{3} = \frac{\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} = -\frac{3\pi}{12} = -\frac{\pi}{4}$.

При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(0)}{3} = \frac{\pi}{12}$.

При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(1)}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.

При $n = 2$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(2)}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$.

Все четыре корня принадлежат заданному промежутку.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}$.