Номер 92, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x - номер 92, страница 36.

Условие.

92. 1) $y = \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x$;

2) $y = \sin x \operatorname{ctg} x$;

3) $y = 2^{\operatorname{tg} x}$;

4) $y = \sqrt{\operatorname{ctg} x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \text{tg}x \cdot \text{ctg}x$
Решение: Область определения данной функции ($D(y)$) находится как пересечение областей определения множителей $y_1 = \text{tg}x$ и $y_2 = \text{ctg}x$.
Функция $y_1 = \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена при условии, что ее знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Функция $y_2 = \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена при условии, что ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для того чтобы исходная функция $y = \text{tg}x \cdot \text{ctg}x$ была определена, должны одновременно выполняться оба этих условия:
$\begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{cases}$
Эти два множества ограничений можно объединить в одно. Исключаются точки $0, \pm\frac{\pi}{2}, \pm\pi, \pm\frac{3\pi}{2}, \ldots$, то есть все точки вида $\frac{\pi m}{2}$, где $m$ - любое целое число.
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\}$.

2) $y = \sin x \cdot \text{ctg}x$
Решение: Область определения функции $y = \sin x \cdot \text{ctg}x$ есть пересечение областей определения множителей $y_1 = \sin x$ и $y_2 = \text{ctg}x$.
Функция $y_1 = \sin x$ определена для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.
Функция $y_2 = \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена при условии, что $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, область определения исходной функции совпадает с областью определения функции $\text{ctg}x$.
Важно отметить, что хотя на области определения функцию можно упростить ($y = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$), это преобразование не изменяет исходную область определения. Таким образом, функция $y = \sin x \cdot \text{ctg}x$ совпадает с функцией $y = \cos x$ во всех точках, кроме точек $x = \pi k$, где она не определена.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

3) $y = 2^{\text{tg}x}$
Решение: Данная функция является сложной функцией, представляющей собой показательную функцию $y=2^u$ с основанием 2, где показатель степени $u$ сам является функцией от $x$: $u(x) = \text{tg}x$.
Показательная функция $y = 2^u$ определена для любых действительных значений показателя $u$.
Следовательно, область определения сложной функции $y = 2^{\text{tg}x}$ полностью определяется областью определения внутренней функции $u(x) = \text{tg}x$.
Функция $u(x) = \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена тогда, когда ее знаменатель не равен нулю: $\cos x \neq 0$.
Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

4) $y = \sqrt{\text{ctg}x}$
Решение: Данная функция является сложной функцией, состоящей из внешней функции квадратного корня $y = \sqrt{u}$ и внутренней функции $u(x) = \text{ctg}x$.
Область определения функции квадратного корня требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $u \geq 0$.
Применительно к нашей функции это означает, что должно выполняться неравенство $\text{ctg}x \geq 0$.
Кроме того, сама функция $u(x) = \text{ctg}x$ должна быть определена. Это требует, чтобы $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Решим неравенство $\text{ctg}x \geq 0$. Функция $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ неотрицательна, когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют одинаковые знаки (I и III координатные четверти), либо когда $\text{ctg}x = 0$ (что происходит при $\cos x = 0$ и $\sin x \neq 0$).
1. I четверть: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$. В точке $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ котангенс равен 0. Итак, $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$.
2. III четверть: $x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$. В точке $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ котангенс равен 0. Итак, $x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$.
Эти два семейства промежутков можно объединить, используя периодичность функции $\text{ctg}x$, равную $\pi$. Объединенное решение имеет вид $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$.