Номер 89, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 89, страница 36.

Условие.

89. Построить график и выяснить свойства функции:

1) $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

2) $y = \text{tg}\frac{x}{2};$

3) $y = \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

4) $y = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{4})$

Построение графика: График функции $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{4})$ получается из графика функции $y = \text{tg}x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$ влево.

Свойства функции:

• Область определения: Аргумент тангенса $x + \frac{\pi}{4}$ не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
  $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ за исключением точек $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Периодичность: Функция периодическая, основной период $T = \pi$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
  $y(-x) = \text{tg}(-x + \frac{\pi}{4}) \neq \pm y(x)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y = 0$ при $\text{tg}(x + \frac{\pi}{4}) = 0$.
  $x + \frac{\pi}{4} = \pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
  $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из интервалов области определения, например, на $(-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{4})$ — это тангенсоида $y=\text{tg}x$, сдвинутая влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Период $T=\pi$. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Нули функции $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $y = \text{tg}\frac{x}{2}$

Построение графика: График функции $y = \text{tg}\frac{x}{2}$ получается из графика функции $y = \text{tg}x$ путем растяжения вдоль оси абсцисс в 2 раза.

Свойства функции:

• Область определения: Аргумент тангенса $\frac{x}{2}$ не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ за исключением точек $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Периодичность: Функция периодическая, основной период $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
• Четность: Функция нечетная.
  $y(-x) = \text{tg}(\frac{-x}{2}) = -\text{tg}(\frac{x}{2}) = -y(x)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y = 0$ при $\text{tg}(\frac{x}{2}) = 0$.
  $\frac{x}{2} = \pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in (2\pi n; \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
  $y < 0$ при $x \in (-\pi + 2\pi n; 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из интервалов области определения, например, на $(-\pi; \pi)$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\frac{x}{2}$ — это тангенсоида $y=\text{tg}x$, растянутая в 2 раза вдоль оси Ox. Период $T=2\pi$. Вертикальные асимптоты $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Нули функции $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Функция нечетная.

---

3) $y = \text{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$

Построение графика: График функции $y = \text{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \text{ctg}x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

Свойства функции:

• Область определения: Аргумент котангенса $x - \frac{\pi}{3}$ не должен быть равен $\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $x - \frac{\pi}{3} \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ за исключением точек $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Периодичность: Функция периодическая, основной период $T = \pi$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
  $y(-x) = \text{ctg}(-x - \frac{\pi}{3}) \neq \pm y(x)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y = 0$ при $\text{ctg}(x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
  $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
  $y < 0$ при $x \in (\frac{5\pi}{6} + \pi n; \frac{4\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов области определения, например, на $(\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$ — это котангенсоида $y=\text{ctg}x$, сдвинутая вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$. Период $T=\pi$. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Нули функции $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $y = \text{ctg}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4})$

Данная функция является константой, так как ее аргумент не содержит переменной $x$.
Вычислим значение этой константы:
$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi + 3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.
$y = \text{ctg}(\frac{7\pi}{12}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\text{ctg}(\frac{\pi}{3})\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) - 1}{\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) + \text{ctg}(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 - 1}{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+3} = \frac{(\sqrt{3}-3)^2}{(\sqrt{3})^2-3^2} = \frac{3-6\sqrt{3}+9}{3-9} = \frac{12-6\sqrt{3}}{-6} = \sqrt{3}-2$.
Таким образом, функция имеет вид $y = \sqrt{3}-2$.

Построение графика: График функции $y = \sqrt{3}-2$ — это прямая линия, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку $(0; \sqrt{3}-2)$ на оси ординат (Oy). Приближенное значение $y \approx 1.732 - 2 = -0.268$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = \{\sqrt{3}-2\}$.
• Периодичность: Функция является константой, поэтому она периодична с любым периодом $T>0$, но не имеет основного периода.
• Четность: Функция четная, так как $y(-x) = \sqrt{3}-2 = y(x)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): Нет, так как $y = \sqrt{3}-2 \neq 0$.
• Вертикальные асимптоты: Нет.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, так как $\sqrt{3}-2 < 0$.
• Промежутки монотонности: Функция постоянна на всей области определения.

Ответ: Данная функция является постоянной: $y = \text{ctg}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}-2$. Ее график — прямая, параллельная оси Ox, проходящая ниже оси Ox на расстоянии $|\sqrt{3}-2| \approx 0.268$. Функция определена для всех $x$, четная, не имеет нулей и асимптот.