Номер 79, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 79, страница 35.

Условие.

79. С помощью свойств функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ сравнить числа:

1) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}$ и $\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}$;

2) $\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{8}$ и $\operatorname{ctg} \frac{8\pi}{9}$;

3) $\operatorname{tg} \left(-\frac{7\pi}{8}\right)$ и $\operatorname{tg} \left(-\frac{8\pi}{9}\right)$;

4) $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{5}\right)$ и $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{7}\right)$;

5) $\operatorname{ctg} 2$ и $\operatorname{ctg} 3$;

6) $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{tg} 1,5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данных задач воспользуемся свойствами монотонности функций $y = \tg x$ и $y = \ctg x$.

• Функция $y = \tg x$ является возрастающей на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция $y = \ctg x$ является убывающей на каждом из интервалов вида $(\pi k, \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1)

Сравним аргументы тангенса: $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$.
Так как $5 < 7$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{7}$, следовательно $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$.
Оба угла $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$ принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$, который является частью интервала возрастания функции $y = \tg x$, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Из $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$ следует, что $\tg \frac{\pi}{5} > \tg \frac{\pi}{7}$.

Ответ: $\tg \frac{\pi}{5} > \tg \frac{\pi}{7}$.

2)

Сравним аргументы котангенса: $\frac{7\pi}{8}$ и $\frac{8\pi}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $72$: $\frac{7}{8} = \frac{63}{72}$ и $\frac{8}{9} = \frac{64}{72}$.
Так как $63 < 64$, то $\frac{63\pi}{72} < \frac{64\pi}{72}$, следовательно $\frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9}$.
Оба угла $\frac{7\pi}{8}$ и $\frac{8\pi}{9}$ принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, который является частью интервала убывания функции $y = \ctg x$, $(0, \pi)$.
Поскольку функция $y = \ctg x$ убывает на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $\frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9}$ следует, что $\ctg \frac{7\pi}{8} > \ctg \frac{8\pi}{9}$.

Ответ: $\ctg \frac{7\pi}{8} > \ctg \frac{8\pi}{9}$.

3)

Воспользуемся свойством периодичности тангенса ($\tg(x+\pi) = \tg x$) для приведения аргументов к более удобному интервалу.
$\tg(-\frac{7\pi}{8}) = \tg(-\frac{7\pi}{8} + \pi) = \tg(\frac{\pi}{8})$.
$\tg(-\frac{8\pi}{9}) = \tg(-\frac{8\pi}{9} + \pi) = \tg(\frac{\pi}{9})$.
Теперь необходимо сравнить $\tg(\frac{\pi}{8})$ и $\tg(\frac{\pi}{9})$.
Сравним аргументы: $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{9}$. Так как $8 < 9$, то $\frac{1}{8} > \frac{1}{9}$, следовательно $\frac{\pi}{8} > \frac{\pi}{9}$.
Оба угла, $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{9}$, принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \tg x$ возрастает. Из $\frac{\pi}{8} > \frac{\pi}{9}$ следует, что $\tg(\frac{\pi}{8}) > \tg(\frac{\pi}{9})$.
Таким образом, $\tg(-\frac{7\pi}{8}) > \tg(-\frac{8\pi}{9})$.

Ответ: $\tg(-\frac{7\pi}{8}) > \tg(-\frac{8\pi}{9})$.

4)

Сравним аргументы тангенса: $-\frac{\pi}{5}$ и $-\frac{\pi}{7}$.
Так как $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$, то при умножении на $-1$ знак неравенства меняется: $-\frac{\pi}{5} < -\frac{\pi}{7}$.
Оба угла $-\frac{\pi}{5}$ и $-\frac{\pi}{7}$ принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, 0)$.
На этом интервале функция $y = \tg x$ возрастает.
Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Из $-\frac{\pi}{5} < -\frac{\pi}{7}$ следует, что $\tg(-\frac{\pi}{5}) < \tg(-\frac{\pi}{7})$.

Ответ: $\tg(-\frac{\pi}{5}) < \tg(-\frac{\pi}{7})$.

5)

Сравним аргументы котангенса: 2 и 3 (в радианах).
Очевидно, что $2 < 3$.
Оценим значения аргументов, зная, что $\pi \approx 3,14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
Таким образом, $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ и $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Оба аргумента принадлежат интервалу $(0, \pi)$.
На интервале $(0, \pi)$ функция $y = \ctg x$ является убывающей.
Поскольку функция $y = \ctg x$ убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Из $2 < 3$ следует, что $\ctg 2 > \ctg 3$.

Ответ: $\ctg 2 > \ctg 3$.

6)

Сравним аргументы тангенса: 1 и 1,5 (в радианах).
Очевидно, что $1 < 1,5$.
Оценим значения аргументов, зная, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
Оба аргумента, 1 и 1,5, принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$.
На этом интервале функция $y = \tg x$ является возрастающей.
Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Из $1 < 1,5$ следует, что $\tg 1 < \tg 1,5$.

Ответ: $\tg 1 < \tg 1,5$.