Номер 72, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 72, страница 28.

Условие.

72. Сила переменного электрического тока является функцией, зависящей от времени, и выражается формулой $I = A\sin(\omega t + \varphi)$, где $A$ — амплитуда колебания, $\omega$ — частота, $\varphi$ — начальная фаза. Построить график функции, если:

1) $A=2, \omega=1, \varphi=\frac{\pi}{4}$;

2) $A=1, \omega=2, \varphi=\frac{\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Заданы параметры для функции силы переменного тока $I = A\sin(\omega t + \phi)$: амплитуда $A=2$, угловая частота $\omega=1$, начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{4}$. Подставив эти значения в формулу, получаем уравнение: $I(t) = 2\sin(1 \cdot t + \frac{\pi}{4}) = 2\sin(t + \frac{\pi}{4})$.

Чтобы построить график этой функции, проанализируем, как каждый параметр влияет на базовый график $y=\sin(t)$.

1. Амплитуда $A=2$. Множитель 2 перед синусом означает, что график функции растягивается в 2 раза вдоль оси ординат (оси $I$). Область значений функции будет от -2 до 2.
2. Угловая частота $\omega=1$. Период функции $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{\omega}$. В нашем случае $T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$. Это означает, что функция совершает одно полное колебание за интервал времени, равный $2\pi$.
3. Начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{4}$. Наличие начальной фазы приводит к сдвигу графика вдоль оси времени $t$. Величина сдвига равна $-\frac{\phi}{\omega} = -\frac{\pi/4}{1} = -\frac{\pi}{4}$. Знак "минус" означает, что график функции $y=2\sin(t)$ сдвигается влево на $\frac{\pi}{4}$.

Определим координаты ключевых точек графика на одном периоде. Для этого найдем значения $t$, при которых аргумент синуса $(t + \frac{\pi}{4})$ принимает значения $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$.

• Точка начала волны (пересечение оси $t$ при возрастании): $t + \frac{\pi}{4} = 0 \Rightarrow t = -\frac{\pi}{4}$. Здесь $I(-\frac{\pi}{4}) = 2\sin(0) = 0$.
• Точка максимума: $t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$. Здесь $I(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$.
• Точка пересечения оси $t$ при убывании: $t + \frac{\pi}{4} = \pi \Rightarrow t = \frac{3\pi}{4}$. Здесь $I(\frac{3\pi}{4}) = 2\sin(\pi) = 0$.
• Точка минимума: $t + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{5\pi}{4}$. Здесь $I(\frac{5\pi}{4}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2$.
• Точка конца волны: $t + \frac{\pi}{4} = 2\pi \Rightarrow t = \frac{7\pi}{4}$. Здесь $I(\frac{7\pi}{4}) = 2\sin(2\pi) = 0$.

При $t=0$ сила тока равна $I(0) = 2\sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: График функции $I(t) = 2\sin(t + \frac{\pi}{4})$ является синусоидой с амплитудой 2, периодом $2\pi$ и сдвигом влево на $\frac{\pi}{4}$ относительно графика $y=2\sin(t)$. Ключевые точки одного периода: $(-\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 2)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\frac{5\pi}{4}, -2)$, $(\frac{7\pi}{4}, 0)$.

---

2)

Заданы параметры: амплитуда $A=1$, угловая частота $\omega=2$, начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{3}$. Подставив эти значения в формулу, получаем уравнение: $I(t) = 1 \cdot \sin(2t + \frac{\pi}{3}) = \sin(2t + \frac{\pi}{3})$.

Проанализируем параметры для построения графика.

1. Амплитуда $A=1$. Амплитуда равна 1, значит, область значений функции от -1 до 1. Растяжения по вертикали нет.
2. Угловая частота $\omega=2$. Период функции $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Это означает, что график функции сжат в 2 раза вдоль оси времени $t$ по сравнению с $y=\sin(t)$.
3. Начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{3}$. Сдвиг графика вдоль оси времени $t$ равен $-\frac{\phi}{\omega} = -\frac{\pi/3}{2} = -\frac{\pi}{6}$. График функции $y=\sin(2t)$ сдвигается влево на $\frac{\pi}{6}$.

Определим координаты ключевых точек графика на одном периоде, приравнивая аргумент синуса $(2t + \frac{\pi}{3})$ к значениям $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$.

• Точка начала волны: $2t + \frac{\pi}{3} = 0 \Rightarrow 2t = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow t = -\frac{\pi}{6}$. Здесь $I(-\frac{\pi}{6}) = \sin(0) = 0$.
• Точка максимума: $2t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2t = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{\pi}{12}$. Здесь $I(\frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• Точка пересечения оси $t$: $2t + \frac{\pi}{3} = \pi \Rightarrow 2t = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{\pi}{3}$. Здесь $I(\frac{\pi}{3}) = \sin(\pi) = 0$.
• Точка минимума: $2t + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow 2t = \frac{7\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{7\pi}{12}$. Здесь $I(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
• Точка конца волны: $2t + \frac{\pi}{3} = 2\pi \Rightarrow 2t = \frac{5\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{5\pi}{6}$. Здесь $I(\frac{5\pi}{6}) = \sin(2\pi) = 0$.

При $t=0$ сила тока равна $I(0) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: График функции $I(t) = \sin(2t + \frac{\pi}{3})$ является синусоидой с амплитудой 1, периодом $\pi$ и сдвигом влево на $\frac{\pi}{6}$ относительно графика $y=\sin(2t)$. Ключевые точки одного периода: $(-\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{12}, 1)$, $(\frac{\pi}{3}, 0)$, $(\frac{7\pi}{12}, -1)$, $(\frac{5\pi}{6}, 0)$.