Номер 67, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 67, страница 28.

Условие.

67. Решить графически уравнение:

1) $sin x = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3}$

2) $sin x = 2 - \frac{2}{\pi}x$

3) $-sin x = \sqrt{x}$

4) $sin x = cos x$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \sin x = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $

Для решения этого уравнения графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $ y = \sin x $ (синусоида) и $ y = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $ (прямая линия).

График функции $ y = \sin x $ — это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $ 2\pi $ и областью значений $ [-1, 1] $.

График функции $ y = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $ — это прямая линия. Найдем две точки, чтобы построить ее:

• При $ x = \pi $, $ y = \frac{2}{3\pi}\cdot\pi - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0 $. Точка $ (\pi, 0) $.
• При $ x = -\frac{\pi}{2} $, $ y = \frac{2}{3\pi}\cdot(-\frac{\pi}{2}) - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -1 $. Точка $ (-\frac{\pi}{2}, -1) $.

Теперь проверим, лежат ли эти точки также на графике $ y = \sin x $:

• Для точки $ (\pi, 0) $: $ \sin(\pi) = 0 $. Точка принадлежит графику.
• Для точки $ (-\frac{\pi}{2}, -1) $: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $. Точка принадлежит графику.

Найдем еще одну возможную точку пересечения. Поскольку область значений синуса $ [-1, 1] $, проверим, при каком $ x $ прямая достигает значения $ y=1 $.

$ 1 = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{5}{3} = \frac{2}{3\pi}x \Rightarrow x = \frac{5\pi}{2} $.
Проверим значение синуса в этой точке: $ \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi) = 1 $.
Таким образом, точка $ (\frac{5\pi}{2}, 1) $ также является точкой пересечения.

Прямая $ y = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $ является возрастающей. Для $ x > \frac{5\pi}{2} $ значения $ y $ для прямой будут больше 1, а для $ x < -\frac{\pi}{2} $ значения $ y $ будут меньше -1. Так как $ \sin x $ не может принимать такие значения, других точек пересечения нет.

Графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых и являются решениями уравнения.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2}, x = \pi, x = \frac{5\pi}{2} $.

2) $ \sin x = 2 - \frac{2}{\pi}x $

Построим графики функций $ y = \sin x $ (синусоида) и $ y = 2 - \frac{2}{\pi}x $ (прямая линия).

График $ y = \sin x $ — стандартная синусоида.

График $ y = 2 - \frac{2}{\pi}x $ — прямая линия. Найдем несколько точек для ее построения:

• При $ x = \frac{\pi}{2} $, $ y = 2 - \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = 2 - 1 = 1 $. Точка $ (\frac{\pi}{2}, 1) $.
• При $ x = \pi $, $ y = 2 - \frac{2}{\pi}\cdot\pi = 2 - 2 = 0 $. Точка $ (\pi, 0) $.
• При $ x = \frac{3\pi}{2} $, $ y = 2 - \frac{2}{\pi}\cdot\frac{3\pi}{2} = 2 - 3 = -1 $. Точка $ (\frac{3\pi}{2}, -1) $.

Проверим, лежат ли эти точки на графике $ y = \sin x $:

• Для точки $ (\frac{\pi}{2}, 1) $: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $. Точка принадлежит графику.
• Для точки $ (\pi, 0) $: $ \sin(\pi) = 0 $. Точка принадлежит графику.
• Для точки $ (\frac{3\pi}{2}, -1) $: $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $. Точка принадлежит графику.

Прямая $ y = 2 - \frac{2}{\pi}x $ является убывающей. При $ x < 0 $, $ y > 2 $, а $ \sin x \le 1 $, поэтому решений нет. При $ x > \frac{3\pi}{2} $, $ y < -1 $, а $ \sin x \ge -1 $, поэтому решений также нет. В интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $ синусоида выпукла вверх, а прямая линия нет, и они пересекаются только в конечной точке интервала, $ x = \frac{\pi}{2} $. Аналогично для других участков. Следовательно, других точек пересечения нет.

Решениями уравнения являются абсциссы найденных точек пересечения.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2}, x = \pi, x = \frac{3\pi}{2} $.

3) $ -\sin x = \sqrt{x} $

Построим графики функций $ y = -\sin x $ и $ y = \sqrt{x} $.

График $ y = -\sin x $ — это синусоида, отраженная относительно оси Ox. Ее значения также лежат в отрезке $ [-1, 1] $.

График $ y = \sqrt{x} $ — ветвь параболы. Область определения этой функции $ x \ge 0 $. Следовательно, решения могут быть только неотрицательными.

Сразу видим одну точку пересечения: при $ x = 0 $ имеем $ -\sin(0) = 0 $ и $ \sqrt{0} = 0 $. Значит, $ x = 0 $ является решением.

Рассмотрим $ x > 0 $. Для существования решения необходимо, чтобы обе части уравнения были неотрицательны, так как $ \sqrt{x} \ge 0 $. Это означает, что $ -\sin x \ge 0 $, что эквивалентно $ \sin x \le 0 $. Это условие выполняется для $ x \in [\pi, 2\pi], [3\pi, 4\pi], \dots $.

Рассмотрим первый такой промежуток $ [\pi, 2\pi] $. В этом промежутке $ x \ge \pi \approx 3.14 $. Тогда $ \sqrt{x} \ge \sqrt{\pi} \approx 1.77 $. Однако, максимальное значение функции $ y = -\sin x $ равно 1. Поскольку $ \sqrt{x} > 1 $, а $ -\sin x \le 1 $, равенство на этом промежутке (и на всех последующих) невозможно.

Также можно рассмотреть промежуток $ (0, 1] $. На этом промежутке $ \sqrt{x} > 0 $. В то же время, $ x \in (0, 1] \subset (0, \pi) $, где $ \sin x > 0 $, а значит $ -\sin x < 0 $. Равенство положительного и отрицательного числа невозможно.

Таким образом, единственная точка пересечения графиков — это начало координат.

Ответ: $ x=0 $.

4) $ \sin x = \cos x $

Построим в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ и $ y = \cos x $.

Оба графика — стандартные синусоиды, сдвинутые друг относительно друга по фазе на $ \frac{\pi}{2} $. Точки пересечения графиков соответствуют таким значениям $ x $, для которых значения синуса и косинуса равны.

Из тригонометрии известно, что $ \sin x = \cos x $ в точках, которые на единичной окружности соответствуют середине первой и третьей четвертей. В первой четверти это угол $ x = \frac{\pi}{4} $. Проверка: $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. В третьей четверти это угол $ x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $. Проверка: $ \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Поскольку обе функции периодические с периодом $ 2\pi $, пересечения будут повторяться. Расстояние между двумя соседними точками пересечения (например, между $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{5\pi}{4} $) равно $ \pi $.

Таким образом, все решения можно описать одной формулой, добавив к первому решению $ \frac{\pi}{4} $ слагаемое $ \pi n $, где $ n $ — любое целое число.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.