Номер 67, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 67, страница 28.
№67 (с. 28)
Условие. №67 (с. 28)
скриншот условия

67. Решить графически уравнение:
1) $sin x = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3}$
2) $sin x = 2 - \frac{2}{\pi}x$
3) $-sin x = \sqrt{x}$
4) $sin x = cos x$
Решение 1. №67 (с. 28)




Решение 2. №67 (с. 28)


Решение 3. №67 (с. 28)
1) $ \sin x = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $
Для решения этого уравнения графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $ y = \sin x $ (синусоида) и $ y = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $ (прямая линия).
График функции $ y = \sin x $ — это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $ 2\pi $ и областью значений $ [-1, 1] $.
График функции $ y = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $ — это прямая линия. Найдем две точки, чтобы построить ее:
- При $ x = \pi $, $ y = \frac{2}{3\pi}\cdot\pi - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0 $. Точка $ (\pi, 0) $.
- При $ x = -\frac{\pi}{2} $, $ y = \frac{2}{3\pi}\cdot(-\frac{\pi}{2}) - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -1 $. Точка $ (-\frac{\pi}{2}, -1) $.
Теперь проверим, лежат ли эти точки также на графике $ y = \sin x $:
- Для точки $ (\pi, 0) $: $ \sin(\pi) = 0 $. Точка принадлежит графику.
- Для точки $ (-\frac{\pi}{2}, -1) $: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $. Точка принадлежит графику.
Найдем еще одну возможную точку пересечения. Поскольку область значений синуса $ [-1, 1] $, проверим, при каком $ x $ прямая достигает значения $ y=1 $.
$ 1 = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{5}{3} = \frac{2}{3\pi}x \Rightarrow x = \frac{5\pi}{2} $.
Проверим значение синуса в этой точке: $ \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi) = 1 $.
Таким образом, точка $ (\frac{5\pi}{2}, 1) $ также является точкой пересечения.
Прямая $ y = \frac{2}{3\pi}x - \frac{2}{3} $ является возрастающей. Для $ x > \frac{5\pi}{2} $ значения $ y $ для прямой будут больше 1, а для $ x < -\frac{\pi}{2} $ значения $ y $ будут меньше -1. Так как $ \sin x $ не может принимать такие значения, других точек пересечения нет.
Графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых и являются решениями уравнения.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2}, x = \pi, x = \frac{5\pi}{2} $.
2) $ \sin x = 2 - \frac{2}{\pi}x $
Построим графики функций $ y = \sin x $ (синусоида) и $ y = 2 - \frac{2}{\pi}x $ (прямая линия).
График $ y = \sin x $ — стандартная синусоида.
График $ y = 2 - \frac{2}{\pi}x $ — прямая линия. Найдем несколько точек для ее построения:
- При $ x = \frac{\pi}{2} $, $ y = 2 - \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = 2 - 1 = 1 $. Точка $ (\frac{\pi}{2}, 1) $.
- При $ x = \pi $, $ y = 2 - \frac{2}{\pi}\cdot\pi = 2 - 2 = 0 $. Точка $ (\pi, 0) $.
- При $ x = \frac{3\pi}{2} $, $ y = 2 - \frac{2}{\pi}\cdot\frac{3\pi}{2} = 2 - 3 = -1 $. Точка $ (\frac{3\pi}{2}, -1) $.
Проверим, лежат ли эти точки на графике $ y = \sin x $:
- Для точки $ (\frac{\pi}{2}, 1) $: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $. Точка принадлежит графику.
- Для точки $ (\pi, 0) $: $ \sin(\pi) = 0 $. Точка принадлежит графику.
- Для точки $ (\frac{3\pi}{2}, -1) $: $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $. Точка принадлежит графику.
Прямая $ y = 2 - \frac{2}{\pi}x $ является убывающей. При $ x < 0 $, $ y > 2 $, а $ \sin x \le 1 $, поэтому решений нет. При $ x > \frac{3\pi}{2} $, $ y < -1 $, а $ \sin x \ge -1 $, поэтому решений также нет. В интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $ синусоида выпукла вверх, а прямая линия нет, и они пересекаются только в конечной точке интервала, $ x = \frac{\pi}{2} $. Аналогично для других участков. Следовательно, других точек пересечения нет.
Решениями уравнения являются абсциссы найденных точек пересечения.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2}, x = \pi, x = \frac{3\pi}{2} $.
3) $ -\sin x = \sqrt{x} $
Построим графики функций $ y = -\sin x $ и $ y = \sqrt{x} $.
График $ y = -\sin x $ — это синусоида, отраженная относительно оси Ox. Ее значения также лежат в отрезке $ [-1, 1] $.
График $ y = \sqrt{x} $ — ветвь параболы. Область определения этой функции $ x \ge 0 $. Следовательно, решения могут быть только неотрицательными.
Сразу видим одну точку пересечения: при $ x = 0 $ имеем $ -\sin(0) = 0 $ и $ \sqrt{0} = 0 $. Значит, $ x = 0 $ является решением.
Рассмотрим $ x > 0 $. Для существования решения необходимо, чтобы обе части уравнения были неотрицательны, так как $ \sqrt{x} \ge 0 $. Это означает, что $ -\sin x \ge 0 $, что эквивалентно $ \sin x \le 0 $. Это условие выполняется для $ x \in [\pi, 2\pi], [3\pi, 4\pi], \dots $.
Рассмотрим первый такой промежуток $ [\pi, 2\pi] $. В этом промежутке $ x \ge \pi \approx 3.14 $. Тогда $ \sqrt{x} \ge \sqrt{\pi} \approx 1.77 $. Однако, максимальное значение функции $ y = -\sin x $ равно 1. Поскольку $ \sqrt{x} > 1 $, а $ -\sin x \le 1 $, равенство на этом промежутке (и на всех последующих) невозможно.
Также можно рассмотреть промежуток $ (0, 1] $. На этом промежутке $ \sqrt{x} > 0 $. В то же время, $ x \in (0, 1] \subset (0, \pi) $, где $ \sin x > 0 $, а значит $ -\sin x < 0 $. Равенство положительного и отрицательного числа невозможно.
Таким образом, единственная точка пересечения графиков — это начало координат.
Ответ: $ x=0 $.
4) $ \sin x = \cos x $
Построим в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ и $ y = \cos x $.
Оба графика — стандартные синусоиды, сдвинутые друг относительно друга по фазе на $ \frac{\pi}{2} $. Точки пересечения графиков соответствуют таким значениям $ x $, для которых значения синуса и косинуса равны.
Из тригонометрии известно, что $ \sin x = \cos x $ в точках, которые на единичной окружности соответствуют середине первой и третьей четвертей. В первой четверти это угол $ x = \frac{\pi}{4} $. Проверка: $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. В третьей четверти это угол $ x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $. Проверка: $ \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Поскольку обе функции периодические с периодом $ 2\pi $, пересечения будут повторяться. Расстояние между двумя соседними точками пересечения (например, между $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{5\pi}{4} $) равно $ \pi $.
Таким образом, все решения можно описать одной формулой, добавив к первому решению $ \frac{\pi}{4} $ слагаемое $ \pi n $, где $ n $ — любое целое число.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 67 расположенного на странице 28 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №67 (с. 28), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.