Номер 69, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 69, страница 28.

Условие.

69. Сколько решений имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} y = 2\sin x, \\ y = \log_{\frac{1}{3}} x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y + 1 = -\sin x, \\ y = \sqrt[3]{x}? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для определения количества решений системы уравнений найдем число точек пересечения графиков функций $y = 2\sin x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} x$.

Рассмотрим свойства каждой функции:

1. Функция $f(x) = 2\sin x$:

• Область определения: все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Область значений: отрезок $[-2, 2]$, так как $-1 \le \sin x \le 1$.
• Функция периодическая с периодом $2\pi$.

2. Функция $g(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$:

• Область определения: $x > 0$.
• Область значений: все действительные числа ($y \in \mathbb{R}$).
• Функция является монотонно убывающей, так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше 1.

Решения системы могут существовать только при $x > 0$. Кроме того, значения $y$ в точках пересечения должны принадлежать области значений обеих функций, то есть $y$ должен быть в отрезке $[-2, 2]$.

Найдем, при каких значениях $x$ функция $g(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ принимает значения из отрезка $[-2, 2]$:
Если $y = -2$, то $\log_{\frac{1}{3}} x = -2 \implies x = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$.
Если $y = 2$, то $\log_{\frac{1}{3}} x = 2 \implies x = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$.
Поскольку функция $g(x)$ убывающая, то все точки пересечения должны лежать в интервале $x \in [\frac{1}{9}, 9]$.

Проанализируем поведение графиков на этом интервале, используя графический метод.

• На интервале $(0, 1)$ функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывает от $+\infty$ до $0$. Функция $y = 2\sin x$ возрастает от $0$ до $2\sin(1) \approx 1.68$. Так как одна функция убывает, а другая возрастает на данном интервале, и их значения "пересекаются" (в точке $x \to 0^+$ логарифм больше синусоиды, а в точке $x=1$ синусоида больше логарифма), то на интервале $(0,1)$ есть ровно одна точка пересечения.
• На интервале $[1, \pi] \approx [1, 3.14]$, $y = 2\sin x \ge 0$, а $y = \log_{\frac{1}{3}} x \le 0$. Пересечений нет (кроме возможной точки $x=1$, где $2\sin(1) > 0$ и $\log_{1/3}(1)=0$, так что пересечения нет).
• На интервале $(\pi, 2\pi) \approx (3.14, 6.28)$ обе функции отрицательны.
  В точке $x=\pi$: $y = 2\sin(\pi) = 0$, а $y = \log_{\frac{1}{3}}(\pi) < 0$. График синусоиды выше графика логарифма.
  В точке $x=\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$: $y = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2$, а $y = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{3\pi}{2}) \approx -1.4$. График синусоиды ниже графика логарифма. На интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ есть как минимум одна точка пересечения.
  В точке $x=2\pi$: $y = 2\sin(2\pi) = 0$, а $y = \log_{\frac{1}{3}}(2\pi) \approx -1.6$. График синусоиды снова выше графика логарифма. На интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ синусоида возрастает, а логарифм убывает, значит, есть ровно одна точка пересечения.
  Анализ производных показывает, что на интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ также только одна точка пересечения. Итого, на интервале $(\pi, 2\pi)$ имеем две точки пересечения.
• На интервале $(2\pi, 9] \approx (6.28, 9]$, $y = 2\sin x \ge 0$, в то время как $y = \log_{\frac{1}{3}} x < 0$. Пересечений нет.

Суммируя, получаем $1 + 2 = 3$ точки пересечения.

Ответ: 3

2)

Подставим второе уравнение $y = \sqrt[3]{x}$ в первое: $\sqrt[3]{x} + 1 = -\sin x$, или $\sqrt[3]{x} = -1 - \sin x$.

Для определения количества решений найдем число точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = -1 - \sin x$.

Рассмотрим свойства каждой функции:

1. Функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$:

• Область определения и область значений: все действительные числа.
• Функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

2. Функция $g(x) = -1 - \sin x$:

• Область определения: все действительные числа.
• Область значений: отрезок $[-2, 0]$, так как $-1 \le \sin x \le 1$.
• Функция периодическая с периодом $2\pi$.

Точки пересечения могут существовать только там, где значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ попадают в отрезок $[-2, 0]$.
$\sqrt[3]{x} = -2 \implies x = -8$.
$\sqrt[3]{x} = 0 \implies x = 0$.
Следовательно, все решения должны находиться на отрезке $x \in [-8, 0]$.

Проанализируем поведение графиков на этом отрезке. Удобно рассмотреть интервалы, заданные точками экстремума функции $g(x) = -1-\sin x$.
Максимумы ($y=0$) достигаются при $\sin x = -1$, т.е. при $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
Минимумы ($y=-2$) достигаются при $\sin x = 1$, т.е. при $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
На отрезке $[-8, 0]$ экстремумы $g(x)$ будут в точках: $x = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ (максимум), $x = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$ (минимум), $x = -\frac{5\pi}{2} \approx -7.85$ (максимум).

• На интервале $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}] \approx [-7.85, -4.71]$:
  $f(x)=\sqrt[3]{x}$ возрастает. $g(x)=-1-\sin x$ убывает от максимума $0$ до минимума $-2$.
  В точке $x = -\frac{5\pi}{2}$: $f(-\frac{5\pi}{2}) = \sqrt[3]{-7.85} \approx -1.98$, а $g(-\frac{5\pi}{2}) = 0$. То есть $f < g$.
  В точке $x = -\frac{3\pi}{2}$: $f(-\frac{3\pi}{2}) = \sqrt[3]{-4.71} \approx -1.67$, а $g(-\frac{3\pi}{2}) = -2$. То есть $f > g$.
  Так как возрастающая и убывающая функции "пересекаются" по значениям, на этом интервале есть ровно одна точка пересечения.
• На интервале $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}] \approx [-4.71, -1.57]$:
  $f(x)=\sqrt[3]{x}$ возрастает. $g(x)=-1-\sin x$ возрастает от минимума $-2$ до максимума $0$.
  В точке $x = -\frac{3\pi}{2}$: $f > g$.
  В точке $x = -\frac{\pi}{2}$: $f(-\frac{\pi}{2}) = \sqrt[3]{-1.57} \approx -1.16$, а $g(-\frac{\pi}{2}) = 0$. То есть $f < g$.
  Поскольку значения непрерывных функций "пересекаются" ($f$ начинается выше $g$ и заканчивается ниже $g$), на этом интервале есть как минимум одна точка пересечения. Графический анализ показывает, что она одна.
• На интервале $[-\frac{\pi}{2}, 0] \approx [-1.57, 0]$:
  $f(x)=\sqrt[3]{x}$ возрастает. $g(x)=-1-\sin x$ убывает от максимума $0$ до $-1$.
  В точке $x = -\frac{\pi}{2}$: $f < g$.
  В точке $x = 0$: $f(0) = 0$, а $g(0) = -1$. То есть $f > g$.
  На этом интервале возрастающая и убывающая функции пересекаются ровно один раз.

За пределами отрезка $[-8, 0]$ решений нет. Таким образом, всего существует $1 + 1 + 1 = 3$ точки пересечения.

Ответ: 3