Номер 68, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 68, страница 28.

Условие.

68. С помощью графиков функций выяснить, имеет ли решение система уравнений:

1) $$\begin{cases} y - 1 = \sin x, \\ y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} y = -\sin x, \\ y = -\frac{2}{x^2} - 1. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы выяснить, имеет ли решение данная система уравнений, мы можем построить графики функций, входящих в систему, и определить, пересекаются ли они. Если графики пересекаются, система имеет решение (или решения); если не пересекаются — решений нет. Точки пересечения графиков и являются решениями системы.

Преобразуем первое уравнение системы: $y - 1 = \sin x$ эквивалентно $y = \sin x + 1$.

Таким образом, нам нужно проанализировать графики двух функций:

1. $y = \sin x + 1$
2. $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$

Рассмотрим первую функцию: $y = \sin x + 1$. Ее график — это синусоида, смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Область значений этой функции: $y \in [0, 2]$, так как $-1 \le \sin x \le 1$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$. Область определения этой функции задается условием $x - \frac{\pi}{2} \ge 0$, то есть $x \ge \frac{\pi}{2}$. Область значений этой функции: $y \ge 0$. График этой функции — это ветвь параболы, смещенная на $\frac{\pi}{2}$ вправо вдоль оси абсцисс и начинающаяся в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Теперь сравним значения этих двух функций в некоторых точках из общей области определения ($x \ge \frac{\pi}{2}$).

• При $x = \frac{\pi}{2}$:
  Для первой функции: $y = \sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = 1 + 1 = 2$.
  Для второй функции: $y = \sqrt{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{0} = 0$.
  В этой точке график первой функции находится выше графика второй.
• При $x = \frac{3\pi}{2}$:
  Для первой функции: $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) + 1 = -1 + 1 = 0$.
  Для второй функции: $y = \sqrt{\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{\pi} \approx 1.77$.
  В этой точке график первой функции уже находится ниже графика второй.

Поскольку обе функции непрерывны на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, и на одном конце отрезка график $y = \sin x + 1$ лежит выше графика $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$, а на другом — ниже, то по теореме о промежуточном значении их графики должны пересечься хотя бы в одной точке внутри интервала $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.

Следовательно, система уравнений имеет как минимум одно решение.

Ответ: система имеет решение.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\sin x \\ y = -\frac{2}{x^2}-1 \end{cases}$

Для определения наличия решений построим и проанализируем графики двух функций: $y = -\sin x$ и $y = -\frac{2}{x^2}-1$.

Рассмотрим первую функцию: $y = -\sin x$. Это график синусоиды, отраженный относительно оси абсцисс. Область значений этой функции такая же, как у $\sin x$: $y \in [-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ значение функции $y = -\sin x$ не может быть меньше $-1$ и больше $1$. То есть, $y \ge -1$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = -\frac{2}{x^2}-1$. Область определения этой функции: $x \neq 0$.
Проанализируем ее область значений. Поскольку $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, то $\frac{2}{x^2} > 0$.
Следовательно, $-\frac{2}{x^2} < 0$.
Тогда $y = -\frac{2}{x^2}-1$ будет всегда строго меньше, чем $-1$. То есть, $y < -1$.

Сравним области значений двух функций:

• Для $y = -\sin x$ область значений $E_1 = [-1, 1]$.
• Для $y = -\frac{2}{x^2}-1$ область значений $E_2 = (-\infty, -1)$.

Множества значений этих двух функций не пересекаются ($E_1 \cap E_2 = \emptyset$). Это означает, что не существует такого значения $y$, которое могло бы одновременно удовлетворять обоим уравнениям.
График функции $y = -\sin x$ всегда лежит на прямой $y=-1$ или выше нее, в то время как график функции $y = -\frac{2}{x^2}-1$ всегда лежит строго ниже прямой $y=-1$. Таким образом, графики этих функций никогда не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.