Номер 63, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 63, страница 28.

Условие.

63. Найти все принадлежащие множеству решений неравенства $\sqrt{x-1}<2$ корни уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо сначала найти множество решений неравенства, а затем выбрать из корней тригонометрического уравнения те, которые принадлежат этому множеству.

1. Решим неравенство $\sqrt{x-1} < 2$

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$

Так как обе части исходного неравенства $\sqrt{x-1} < 2$ являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\sqrt{x-1})^2 < 2^2$
$x - 1 < 4$
$x < 5$

Теперь необходимо найти пересечение найденных условий, то есть решить систему: $\begin{cases} x \ge 1 \\ x < 5 \end{cases}$
Решением системы является интервал $x \in [1, 5)$.

2. Решим уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$

Общее решение данного тригонометрического уравнения представляет собой совокупность двух серий корней: $x = (-1)^{k} \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^{k} (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.

Для удобства отбора корней представим решение в виде двух отдельных серий:
1) $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$
2) $x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$

3. Произведем отбор корней

Теперь найдем корни уравнения, которые принадлежат промежутку $[1, 5)$. Для оценки будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Рассмотрим первую серию корней $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$:

• При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{6} \approx -0.52$. Этот корень не принадлежит промежутку $[1, 5)$.
• При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx \frac{11 \times 3.14}{6} \approx 5.76$. Этот корень больше 5 и не принадлежит промежутку.

Корней из этой серии в заданном промежутке нет.

Рассмотрим вторую серию корней $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$:

• При $n=0$, $x = \frac{7\pi}{6}$. Оценим значение этого корня: $x \approx \frac{7 \times 3.14159}{6} \approx 3.665$. Проверим принадлежность промежутку $[1, 5)$ строго:
  $1 \le \frac{7\pi}{6} < 5$
  $6 \le 7\pi < 30$
  $\frac{6}{7} \le \pi < \frac{30}{7}$
  Так как $\frac{6}{7} \approx 0.857$ и $\frac{30}{7} \approx 4.286$, а значение $\pi \approx 3.14159$ находится в этих границах, то неравенство верно. Следовательно, $x = \frac{7\pi}{6}$ является искомым корнем.
• При $n=1$, $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \approx \frac{19 \times 3.14}{6} \approx 9.94$. Этот корень не принадлежит промежутку.
• При $n=-1$, $x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.62$. Этот корень не принадлежит промежутку.

Таким образом, был найден единственный корень, удовлетворяющий условию задачи.

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$