Номер 56, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 56, страница 27.

Условие.

56. Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция $y = \sin x$ возрастала, а на другом убывала:

1) $[0; \pi]$;

2) $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$;

3) $[-\pi; 0]$;

4) $[-2\pi; -\pi]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы разбить данный отрезок на два, на одном из которых функция $y = \sin x$ возрастает, а на другом убывает, необходимо найти точку экстремума функции внутри этого отрезка. Точки экстремума функции $y = \sin x$ — это точки, в которых ее производная $y' = \cos x$ равна нулю или меняет знак.

Производная $y' = \cos x$ равна нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Функция $y = \sin x$ возрастает, когда $\cos x > 0$, и убывает, когда $\cos x < 0$.

Проанализируем каждый из предложенных отрезков:

1) $[0; \pi]$

Найдем точку экстремума на интервале $(0; \pi)$. Уравнение $\cos x = 0$ на этом интервале имеет один корень: $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка разбивает отрезок $[0; \pi]$ на два отрезка: $[0; \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.

• На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, производная $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.
• На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, производная $\cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.

Ответ: Отрезок $[0; \pi]$ можно разбить на отрезки $[0; \frac{\pi}{2}]$ (функция возрастает) и $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ (функция убывает).

2) $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$

Найдем точку экстремума на интервале $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Уравнение $\cos x = 0$ на этом интервале имеет один корень: $x = \frac{3\pi}{2}$. Эта точка разбивает отрезок $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$ на два отрезка: $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$.

• На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, производная $\cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.
• На отрезке $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$, производная $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.

Ответ: Отрезок $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$ можно разбить на отрезки $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ (функция убывает) и $[\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$ (функция возрастает).

3) $[-\pi; 0]$

Найдем точку экстремума на интервале $(-\pi; 0)$. Уравнение $\cos x = 0$ на этом интервале имеет один корень: $x = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка разбивает отрезок $[-\pi; 0]$ на два отрезка: $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ и $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

• На отрезке $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$, производная $\cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.
• На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, производная $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.

Ответ: Отрезок $[-\pi; 0]$ можно разбить на отрезки $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ (функция убывает) и $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ (функция возрастает).

4) $[-2\pi; -\pi]$

Найдем точку экстремума на интервале $(-2\pi; -\pi)$. Уравнение $\cos x = 0$ на этом интервале имеет один корень: $x = -\frac{3\pi}{2}$. Эта точка разбивает отрезок $[-2\pi; -\pi]$ на два отрезка: $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ и $[-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$.

• На отрезке $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$, производная $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.
• На отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$, производная $\cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.

Ответ: Отрезок $[-2\pi; -\pi]$ можно разбить на отрезки $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ (функция возрастает) и $[-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$ (функция убывает).