Номер 55, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 55, страница 27.

Условие.

55. (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция $y = \sin x$ на промежутке:

1) $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}]$;

2) $(\frac{\pi}{2}; \pi)$;

3) $(-\pi; -\frac{\pi}{2})$;

4) $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$;

5) $[2; 4]$;

6) $(6; 7)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения характера монотонности функции $y = \sin x$ на заданных промежутках используется ее производная $y' = \cos x$. Функция возрастает там, где ее производная положительна ($\cos x > 0$), и убывает там, где производная отрицательна ($\cos x < 0$).

• $\sin x$ возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
• $\sin x$ убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

1) Промежуток $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. Этот промежуток можно получить из основного промежутка возрастания $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, прибавив $2\pi$ к его границам: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi, \frac{\pi}{2} + 2\pi] = [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. На этом промежутке производная $y' = \cos x \ge 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: возрастает.

2) Промежуток $(\frac{\pi}{2}, \pi)$. Этот промежуток является частью промежутка убывания $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ угол $x$ находится во второй координатной четверти, где $\cos x < 0$. Следовательно, функция убывает.

Ответ: убывает.

3) Промежуток $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$. Этот промежуток является частью промежутка убывания $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$. На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ угол $x$ находится в третьей координатной четверти, где $\cos x < 0$. Следовательно, функция убывает.

Ответ: убывает.

4) Промежуток $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$. Это один из стандартных промежутков убывания функции $\sin x$. На этом промежутке производная $y' = \cos x \le 0$. Следовательно, функция убывает.

Ответ: убывает.

5) Промежуток $[2, 4]$. Для анализа этого промежутка используем числовые значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Так как $1.57 < 2 < 4 < 4.71$, то весь промежуток $[2, 4]$ находится внутри промежутка убывания $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Следовательно, функция на этом промежутке убывает.

Ответ: убывает.

6) Промежуток $(6, 7)$. Для анализа этого промежутка используем числовые значения: $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Так как $4.71 < 6 < 7 < 7.85$, то весь промежуток $(6, 7)$ находится внутри промежутка возрастания $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. Следовательно, функция на этом промежутке возрастает.

Ответ: возрастает.