Номер 54, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 54, страница 26.

Условие.

54. Выяснить, принадлежат ли графику функции $y = \sin x$ точки с координатами:

1) $(-\frac{\pi}{2}; 0)$

2) $(\frac{\pi}{2}; 1)$

3) $(\frac{3\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

4) $(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы выяснить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0, y_0)$ графику функции $y = \sin x$, необходимо подставить координату $x_0$ в уравнение функции и проверить, совпадает ли полученное значение $y$ с координатой $y_0$. То есть, нужно проверить истинность равенства $y_0 = \sin(x_0)$.

1) Проверим точку с координатами $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

Подставляем $x = -\frac{\pi}{2}$ в функцию $y = \sin x$:

$y = \sin(-\frac{\pi}{2})$

Используя свойство нечетности функции синус, $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:

$y = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Полученное значение $y = -1$ не совпадает с ординатой точки $y = 0$, так как равенство $-1 = 0$ ложно.

Ответ: точка не принадлежит графику функции.

2) Проверим точку с координатами $(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию $y = \sin x$:

$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Полученное значение $y = 1$ совпадает с ординатой точки $y = 1$, так как равенство $1 = 1$ истинно.

Ответ: точка принадлежит графику функции.

3) Проверим точку с координатами $(\frac{3\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Подставляем $x = \frac{3\pi}{4}$ в функцию $y = \sin x$:

$y = \sin(\frac{3\pi}{4})$

Используя формулу приведения $\sin(\pi - a) = \sin(a)$, получаем:

$y = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Полученное значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ не совпадает с ординатой точки $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, так как равенство $\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ ложно.

Ответ: точка не принадлежит графику функции.

4) Проверим точку с координатами $(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Подставляем $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию $y = \sin x$:

$y = \sin(\frac{2\pi}{3})$

Используя формулу приведения $\sin(\pi - a) = \sin(a)$, получаем:

$y = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Полученное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ совпадает с ординатой точки $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$, так как равенство $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ истинно.

Ответ: точка принадлежит графику функции.