Номер 59, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 59, страница 27.

Условие.

59. Найти все принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$ решения неравенства:

1) $\sin x > \frac{1}{2}$;

2) $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin x \ge -\frac{1}{2}$;

4) $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Сначала найдем решения уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ корнями являются $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$ выполняется для углов, ордината которых на единичной окружности больше $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной между точками $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.
Общее решение неравенства имеет вид $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число.
Теперь выберем решения, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$.
При $k=0$ получаем интервал $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$. Этот интервал полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
При $k=1$ получаем интервал $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi, \frac{5\pi}{6} + 2\pi)$, то есть $x \in (\frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6})$. Поскольку $3\pi = \frac{18\pi}{6}$, этот интервал также полностью содержится в $[0; 3\pi]$.
При других целых значениях $k$ решения не попадают в заданный отрезок.
Объединяя найденные решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6})$.

2) Решим неравенство $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Сначала найдем решения уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ корнями являются $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Неравенство $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для углов, которые не удовлетворяют строгому неравенству $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решением неравенства $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $[0, 2\pi]$ является интервал $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.
Следовательно, на отрезке $[0, 2\pi]$ решение неравенства $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ есть объединение отрезков $[0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, 2\pi]$.
Теперь рассмотрим отрезок $[2\pi, 3\pi]$. Корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на этом отрезке: $x_3 = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$ и $x_4 = 2\pi + \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$.
Решением неравенства $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[2\pi, 3\pi]$ будет $[2\pi, \frac{9\pi}{4}] \cup [\frac{11\pi}{4}, 3\pi]$.
Объединим все найденные решения: $[0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, 2\pi] \cup [2\pi, \frac{9\pi}{4}] \cup [\frac{11\pi}{4}, 3\pi]$.
Заметим, что отрезки $[\frac{3\pi}{4}, 2\pi]$ и $[2\pi, \frac{9\pi}{4}]$ можно объединить в один отрезок $[\frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}]$.
Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}] \cup [\frac{11\pi}{4}, 3\pi]$.

3) Решим неравенство $\sin x \ge -\frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Сначала найдем решения уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ корнями являются $x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Неравенство $\sin x \ge -\frac{1}{2}$ выполняется для углов, ордината которых на единичной окружности не меньше $-\frac{1}{2}$.
На отрезке $[0, 2\pi]$ это соответствует объединению отрезков $[0, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$.
Теперь рассмотрим отрезок $[2\pi, 3\pi]$. На этом отрезке $\sin x$ принимает значения от $\sin(2\pi)=0$ до $\sin(2.5\pi)=1$ и обратно до $\sin(3\pi)=0$. Таким образом, на всем отрезке $[2\pi, 3\pi]$ выполняется условие $\sin x \ge 0$.
Поскольку любое неотрицательное число больше $-\frac{1}{2}$, неравенство $\sin x \ge -\frac{1}{2}$ верно для всех $x \in [2\pi, 3\pi]$.
Объединим все найденные решения: $[0, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 2\pi] \cup [2\pi, 3\pi]$.
Отрезки $[\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$ и $[2\pi, 3\pi]$ можно объединить в один отрезок $[\frac{11\pi}{6}, 3\pi]$.
Ответ: $x \in [0, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 3\pi]$.

4) Решим неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$.
Сначала найдем решения уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ корнями являются $x_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
Неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для углов, ордината которых на единичной окружности строго меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной строго между точками $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.
На отрезке $[0, 2\pi]$ решением является интервал $(\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$.
Теперь рассмотрим отрезок $[2\pi, 3\pi]$. На этом отрезке, как было показано в предыдущем пункте, $\sin x \ge 0$.
Неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ не может выполняться, так как неотрицательное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, на отрезке $[2\pi, 3\pi]$ решений нет.
Таким образом, все решения находятся в интервале, найденном на первом обороте.
Ответ: $x \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$.