Номер 66, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 66, страница 28.

Условие.

66. Найти промежутки убывания функции на заданном отрезке:

1) $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right),\left[-\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right]$;

2) $y=-\sin x,[-\pi; 2 \pi].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, 2\pi]$.
Для нахождения промежутков убывания функции необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах она неположительна ($y' \le 0$).
Сначала упростим вид функции, используя формулы приведения:
$y = \sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(x)$
Теперь найдем производную:
$y' = (-\cos(x))' = -(-\sin(x)) = \sin(x)$
Теперь решим неравенство $y' \le 0$, то есть $\sin(x) \le 0$.
Функция синус неположительна в третьей и четвертой четвертях. Общее решение этого неравенства имеет вид:
$\pi + 2\pi n \le x \le 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Это можно записать в виде объединения отрезков $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$.
Теперь найдем, какие из этих промежутков попадают в заданный отрезок $[-\frac{\pi}{2}, 2\pi]$.
1. При $n=0$: получаем отрезок $[\pi, 2\pi]$. Этот отрезок полностью принадлежит заданному отрезку $[-\frac{\pi}{2}, 2\pi]$.
2. При $n=-1$: получаем отрезок $[\pi - 2\pi, 2\pi - 2\pi]$, то есть $[-\pi, 0]$. Найдем пересечение этого отрезка с заданным отрезком $[-\frac{\pi}{2}, 2\pi]$: $[-\pi, 0] \cap [-\frac{\pi}{2}, 2\pi] = [-\frac{\pi}{2}, 0]$.
При других значениях $n$ получаемые отрезки не пересекаются с заданным.
Таким образом, функция убывает на объединении найденных промежутков.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ и $[\pi, 2\pi]$.

2) Дана функция $y = -\sin x$ на отрезке $[-\pi, 2\pi]$.
Для нахождения промежутков убывания найдем производную функции:
$y' = (-\sin x)' = -\cos x$
Функция убывает, когда ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$.
Решим неравенство $-\cos x \le 0$, что эквивалентно неравенству $\cos x \ge 0$.
Функция косинус неотрицательна в первой и четвертой четвертях. Общее решение этого неравенства имеет вид:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Это можно записать в виде объединения отрезков $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$.
Теперь найдем, какие из этих промежутков попадают в заданный отрезок $[-\pi, 2\pi]$.
1. При $n=0$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Этот отрезок полностью принадлежит заданному отрезку $[-\pi, 2\pi]$.
2. При $n=1$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi, \frac{\pi}{2} + 2\pi]$, то есть $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. Найдем пересечение этого отрезка с заданным отрезком $[-\pi, 2\pi]$: $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cap [-\pi, 2\pi] = [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.
3. При $n=-1$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{2} - 2\pi, \frac{\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}]$. Этот отрезок не пересекается с $[-\pi, 2\pi]$.
Следовательно, функция убывает на объединении найденных промежутков.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.