Номер 64, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 4. Свойства функции y=sin x и её график - номер 64, страница 28.

Условие.

64. Найти все принадлежащие промежутку $-$\frac{3\pi}{2}$ \le x \le \pi$ решения неравенства:

1) $\sin 2x \ge -\frac{1}{2}$

2) $\sin 3x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $\sin 2x \ge -\frac{1}{2}$ на промежутке $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Так как $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$, то, умножив все части неравенства на 2, получим промежуток для $t$: $-3\pi \le t \le 2\pi$.

Теперь задача состоит в том, чтобы решить неравенство $\sin t \ge -\frac{1}{2}$ на промежутке $[-3\pi, 2\pi]$.

Сначала найдем общее решение неравенства $\sin t \ge -\frac{1}{2}$. Решением соответствующего уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$ являются значения $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности неравенству $\sin t \ge -\frac{1}{2}$ удовлетворяют углы $t$, для которых выполняется двойное неравенство: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем из этих решений те, которые принадлежат промежутку $t \in [-3\pi, 2\pi]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $k$:

• При $k = -2$: $-\frac{\pi}{6} - 4\pi \le t \le \frac{7\pi}{6} - 4\pi \implies -\frac{25\pi}{6} \le t \le -\frac{17\pi}{6}$. Пересечение с $[-3\pi, 2\pi]$ (т.е. с $[-\frac{18\pi}{6}, \frac{12\pi}{6}]$) дает промежуток $[-3\pi, -\frac{17\pi}{6}]$.
• При $k = -1$: $-\frac{\pi}{6} - 2\pi \le t \le \frac{7\pi}{6} - 2\pi \implies -\frac{13\pi}{6} \le t \le -\frac{5\pi}{6}$. Этот промежуток полностью входит в $[-3\pi, 2\pi]$.
• При $k = 0$: $-\frac{\pi}{6} \le t \le \frac{7\pi}{6}$. Этот промежуток полностью входит в $[-3\pi, 2\pi]$.
• При $k = 1$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi \implies \frac{11\pi}{6} \le t \le \frac{19\pi}{6}$. Пересечение с $[-3\pi, 2\pi]$ дает промежуток $[\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$.

Объединяя найденные промежутки для $t$, получаем: $t \in [-3\pi, -\frac{17\pi}{6}] \cup [-\frac{13\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}] \cup [-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 2\pi]$.

Теперь вернемся к переменной $x$, зная что $x = t/2$:

• $t \in [-3\pi, -\frac{17\pi}{6}] \implies x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{17\pi}{12}]$
• $t \in [-\frac{13\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}] \implies x \in [-\frac{13\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}]$
• $t \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}] \implies x \in [-\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}]$
• $t \in [\frac{11\pi}{6}, 2\pi] \implies x \in [\frac{11\pi}{12}, \pi]$

Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{17\pi}{12}] \cup [-\frac{13\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}] \cup [-\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}] \cup [\frac{11\pi}{12}, \pi]$.

2) Решим неравенство $\sin 3x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3x$. Так как $-\frac{3\pi}{2} \le x \le \pi$, то, умножив все части неравенства на 3, получим промежуток для $t$: $-\frac{9\pi}{2} \le t \le 3\pi$.

Теперь задача состоит в том, чтобы решить неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$.

Общее решение неравенства $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ можно найти, рассмотрев единичную окружность. Равенство $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается при $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для всех остальных углов. Таким образом, общее решение: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi(k+1) \implies \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем из этих решений те, которые принадлежат промежутку $t \in [-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$ (т.е. $[-4.5\pi, 3\pi]$). Будем подставлять различные целые значения $k$:

• При $k = -3$: $\frac{2\pi}{3} - 6\pi < t < \frac{7\pi}{3} - 6\pi \implies -\frac{16\pi}{3} < t < -\frac{11\pi}{3}$. Пересечение с $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$ (т.е. $[-\frac{27\pi}{6}, \frac{18\pi}{6}]$) дает промежуток $[-\frac{9\pi}{2}, -\frac{11\pi}{3})$.
• При $k = -2$: $\frac{2\pi}{3} - 4\pi < t < \frac{7\pi}{3} - 4\pi \implies -\frac{10\pi}{3} < t < -\frac{5\pi}{3}$. Этот промежуток полностью входит в $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$.
• При $k = -1$: $\frac{2\pi}{3} - 2\pi < t < \frac{7\pi}{3} - 2\pi \implies -\frac{4\pi}{3} < t < \frac{\pi}{3}$. Этот промежуток полностью входит в $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$.
• При $k = 0$: $\frac{2\pi}{3} < t < \frac{7\pi}{3}$. Этот промежуток полностью входит в $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$.
• При $k = 1$: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi < t < \frac{7\pi}{3} + 2\pi \implies \frac{8\pi}{3} < t < \frac{13\pi}{3}$. Пересечение с $[-\frac{9\pi}{2}, 3\pi]$ дает промежуток $(\frac{8\pi}{3}, 3\pi]$.

Объединяя найденные промежутки для $t$, получаем: $t \in [-\frac{9\pi}{2}, -\frac{11\pi}{3}) \cup (-\frac{10\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}) \cup (-\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}) \cup (\frac{8\pi}{3}, 3\pi]$.

Теперь вернемся к переменной $x$, зная что $x = t/3$:

• $t \in [-\frac{9\pi}{2}, -\frac{11\pi}{3}) \implies x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{11\pi}{9})$
• $t \in (-\frac{10\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}) \implies x \in (-\frac{10\pi}{9}, -\frac{5\pi}{9})$
• $t \in (-\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) \implies x \in (-\frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{9})$
• $t \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}) \implies x \in (\frac{2\pi}{9}, \frac{7\pi}{9})$
• $t \in (\frac{8\pi}{3}, 3\pi] \implies x \in (\frac{8\pi}{9}, \pi]$

Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{11\pi}{9}) \cup (-\frac{10\pi}{9}, -\frac{5\pi}{9}) \cup (-\frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{9}) \cup (\frac{2\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}) \cup (\frac{8\pi}{9}, \pi]$.