Номер 75, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Свойства функции y=tg x и y=ctg x. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 75, страница 35.

Условие.

75. (Устно.) Выяснить, является ли функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастающей на промежутке:

1) $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$

2) $(\frac{\pi}{2}; \pi)$

3) $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8})$

4) $[2; 3]$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Функция $y = \text{tg } x$ определена для всех действительных чисел $x$, за исключением точек вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках находятся вертикальные асимптоты графика функции.

Для определения промежутков возрастания функции найдем ее производную:$y' = (\text{tg } x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Поскольку $\cos^2 x$ всегда больше нуля для всех $x$ из области определения тангенса, производная $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ всегда положительна. Это означает, что функция $y = \text{tg } x$ строго возрастает на каждом из интервалов, где она непрерывна. Эти интервалы имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы выяснить, является ли функция возрастающей на заданном промежутке, необходимо проверить, лежит ли этот промежуток целиком внутри одного из таких интервалов непрерывности.

1) $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$

Данный промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$ является подмножеством интервала непрерывности $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ (случай $k=0$), так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$. На этом промежутке функция $y=\text{tg } x$ не имеет точек разрыва и, следовательно, является возрастающей.
Ответ: да.

2) $(\frac{\pi}{2}; \pi)$

Этот промежуток является подмножеством интервала непрерывности $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ (случай $k=1$), так как $\frac{\pi}{2} < \pi < \frac{3\pi}{2}$. На данном промежутке функция $y=\text{tg } x$ непрерывна, а значит, возрастает.
Ответ: да.

3) $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8})$

Данный промежуток является подмножеством интервала непрерывности $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ (случай $k=0$), так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$. На этом промежутке функция $y=\text{tg } x$ непрерывна и возрастает.
Ответ: да.

4) $[2; 3]$

Оценим значения ближайших точек разрыва функции: $x_0 = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $x_1 = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Промежуток $[2; 3]$ находится между этими точками: $\frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \frac{3\pi}{2}$. Таким образом, промежуток $[2; 3]$ целиком содержится в интервале непрерывности $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$. Следовательно, функция $y=\text{tg } x$ на этом промежутке возрастает.
Ответ: да.