Номер 106, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 6. Обратные тригонометрические функции - номер 106, страница 42.

Условие.

106. Построить график функции:

1) $y = \arccos (\cos x)$;

2) $y = \arcsin (\cos x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Рассмотрим функцию $y = \arccos(\cos x)$.

Область определения и область значений

Функция $\cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, а ее область значений — отрезок $[-1, 1]$. Функция $\arccos(t)$ определена для $t \in [-1, 1]$. Следовательно, область определения функции $y = \arccos(\cos x)$ — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений функции $\arccos(t)$ — это отрезок $[0, \pi]$. Таким образом, область значений нашей функции $E(y) = [0, \pi]$.

Периодичность и четность

Функция $\cos x$ является периодической с основным периодом $2\pi$. Проверим периодичность данной функции:

$y(x + 2\pi) = \arccos(\cos(x + 2\pi)) = \arccos(\cos x) = y(x)$.

Следовательно, функция $y = \arccos(\cos x)$ является периодической с периодом $T = 2\pi$. Это позволяет нам построить график на отрезке длиной $2\pi$, например на $[0, 2\pi]$, а затем продолжить его на всю числовую прямую.

Проверим функцию на четность:

$y(-x) = \arccos(\cos(-x)) = \arccos(\cos x) = y(x)$.

Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Построение графика на основном периоде

Рассмотрим поведение функции на отрезке $[0, \pi]$. По определению арккосинуса, $\arccos(t)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $t$. Если $x \in [0, \pi]$, то $x$ как раз является таким углом. Таким образом, для $x \in [0, \pi]$ имеем:

$y = \arccos(\cos x) = x$.

Это отрезок прямой линии, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(\pi, \pi)$.

Теперь рассмотрим поведение функции на отрезке $[\pi, 2\pi]$. Воспользуемся свойством косинуса $\cos x = \cos(2\pi - x)$. Если $x \in [\pi, 2\pi]$, то $2\pi - x \in [0, \pi]$. Так как значение $2\pi - x$ попадает в область значений арккосинуса, мы можем написать:

$y = \arccos(\cos x) = \arccos(\cos(2\pi - x)) = 2\pi - x$.

Это отрезок прямой линии, соединяющий точки $(\pi, \pi)$ и $(2\pi, 0)$.

Итак, на отрезке $[0, 2\pi]$ график состоит из двух отрезков, образующих "треугольник" с вершинами в точках $(0, 0)$, $(\pi, \pi)$ и $(2\pi, 0)$.

Так как функция периодическая с периодом $2\pi$, мы можем повторить этот "треугольный" мотив вдоль всей оси OX. График функции представляет собой треугольную волну.

График функции

График функции $y=\arccos(\cos x)$ представляет собой ломаную линию. Он состоит из повторяющихся фрагментов. Каждый фрагмент на отрезке $[2k\pi, 2(k+1)\pi]$ (где $k$ — целое число) представляет собой треугольник с вершинами в точках $(2k\pi, 0)$, $((2k+1)\pi, \pi)$ и $(2(k+1)\pi, 0)$.

Ответ: График функции $y = \arccos(\cos x)$ является периодической ломаной линией (треугольная волна) с периодом $2\pi$ и областью значений $[0, \pi]$. На отрезке $[0, \pi]$ график совпадает с прямой $y=x$, а на отрезке $[\pi, 2\pi]$ — с прямой $y = 2\pi - x$. В общем виде, $y(x) = x - 2k\pi$ при $x \in [2k\pi, (2k+1)\pi]$ и $y(x) = (2k+2)\pi - x$ при $x \in [(2k+1)\pi, (2k+2)\pi]$ для любого целого $k$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \arcsin(\cos x)$.

Область определения и область значений

Как и в предыдущем случае, область определения функции $\cos x$ — это $\mathbb{R}$, а область значений — $[-1, 1]$. Область определения $\arcsin(t)$ — это $[-1, 1]$. Таким образом, область определения функции $y = \arcsin(\cos x)$ — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений функции $\arcsin(t)$ — это отрезок $[-\pi/2, \pi/2]$. Следовательно, область значений нашей функции $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.

Периодичность и четность

Функция $\cos x$ периодична с периодом $2\pi$.

$y(x + 2\pi) = \arcsin(\cos(x + 2\pi)) = \arcsin(\cos x) = y(x)$.

Функция $y = \arcsin(\cos x)$ является периодической с периодом $T = 2\pi$.

Проверим на четность:

$y(-x) = \arcsin(\cos(-x)) = \arcsin(\cos x) = y(x)$.

Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

Построение графика

Для построения графика можно воспользоваться тригонометрическим тождеством. Есть два основных подхода.

Подход 1: Использование тождества $\arcsin(t) + \arccos(t) = \pi/2$.

Из этого тождества следует, что $\arcsin(\cos x) = \pi/2 - \arccos(\cos x)$.

Это означает, что график функции $y = \arcsin(\cos x)$ можно получить из графика функции $y = \arccos(\cos x)$ (построенного в пункте 1) следующими преобразованиями:

1. Отразить график $y = \arccos(\cos x)$ симметрично относительно оси OX, чтобы получить график $y = -\arccos(\cos x)$.
2. Сдвинуть полученный график вверх на $\pi/2$.

График $y=\arccos(\cos x)$ — это треугольная волна с вершинами "вверху" в точках $((2k+1)\pi, \pi)$ и "внизу" в точках $(2k\pi, 0)$. После отражения вершины окажутся в $((2k+1)\pi, -\pi)$ и $(2k\pi, 0)$. После сдвига вверх на $\pi/2$ вершины окажутся в точках $((2k+1)\pi, -\pi/2)$ и $(2k\pi, \pi/2)$.

Подход 2: Использование формулы приведения $\cos x = \sin(\pi/2 - x)$.

Подставим это в нашу функцию:

$y = \arcsin(\cos x) = \arcsin(\sin(\pi/2 - x))$.

Пусть $u = \pi/2 - x$. Рассмотрим функцию $y = \arcsin(\sin u)$. По определению, для $u \in [-\pi/2, \pi/2]$ имеем $\arcsin(\sin u) = u$.

Найдем, при каких значениях $x$ переменная $u$ попадает в этот отрезок:

$-\pi/2 \le \pi/2 - x \le \pi/2 \implies -\pi \le -x \le 0 \implies 0 \le x \le \pi$.

Следовательно, для $x \in [0, \pi]$, имеем $y = u = \pi/2 - x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, \pi/2)$ и $(\pi, -\pi/2)$.

Так как функция четная, то для $x \in [-\pi, 0]$ график будет симметричен графику на $[0, \pi]$ относительно оси OY. То есть, для $x \in [-\pi, 0]$ имеем $y(x) = y(-x) = \pi/2 - (-x) = \pi/2 + x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-\pi, -\pi/2)$ и $(0, \pi/2)$.

На отрезке $[-\pi, \pi]$ график представляет собой "треугольник" с вершинами в точках $(-\pi, -\pi/2)$, $(0, \pi/2)$ и $(\pi, -\pi/2)$. В силу периодичности с периодом $2\pi$, этот мотив повторяется вдоль всей оси OX.

График функции

График функции $y=\arcsin(\cos x)$ представляет собой ломаную линию. Он состоит из повторяющихся фрагментов. Каждый фрагмент на отрезке $[(2k-1)\pi, (2k+1)\pi]$ (где $k$ — целое число) представляет собой треугольник с вершинами в точках $((2k-1)\pi, -\pi/2)$, $(2k\pi, \pi/2)$ и $((2k+1)\pi, -\pi/2)$.

Ответ: График функции $y = \arcsin(\cos x)$ является периодической ломаной линией (треугольная волна) с периодом $2\pi$ и областью значений $[-\pi/2, \pi/2]$. На отрезке $[0, \pi]$ график совпадает с прямой $y = \pi/2 - x$, а на отрезке $[-\pi, 0]$ — с прямой $y = \pi/2 + x$. В общем виде, $y(x) = -x + 2k\pi + \pi/2$ при $x \in [2k\pi, (2k+1)\pi]$ и $y(x) = x - 2k\pi + \pi/2$ при $x \in [(2k-1)\pi, 2k\pi]$ для любого целого $k$.