Номер 104, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 6. Обратные тригонометрические функции - номер 104, страница 42.

Условие.

104. Доказать, что $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства тождества $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ необходимо показать, что оно выполняется для всех $x$ из общей области определения функций $\arcsin x$ и $\arccos x$, то есть для $x \in [-1, 1]$. Рассмотрим два способа доказательства.

Способ 1: Тригонометрический

1. Обозначим $\alpha = \arcsin x$. Согласно определению арксинуса, это значит, что $\sin \alpha = x$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

2. Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Подставив в нее $\sin \alpha = x$, получаем $x = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

3. Чтобы данное равенство означало, что $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, необходимо убедиться, что угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в области значений арккосинуса, то есть в отрезке $[0, \pi]$.
Исходя из неравенства $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, выполним преобразования:
умножим на -1: $\frac{\pi}{2} \ge -\alpha \ge -\frac{\pi}{2}$;
прибавим $\frac{\pi}{2}$: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \ge \frac{\pi}{2} - \alpha \ge \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$;
получаем: $\pi \ge \frac{\pi}{2} - \alpha \ge 0$.
Условие выполняется, так как $(\frac{\pi}{2} - \alpha) \in [0, \pi]$.

4. Из равенства $x = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ и условия $(\frac{\pi}{2} - \alpha) \in [0, \pi]$ по определению арккосинуса следует, что $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

5. Заменив $\alpha$ обратно на $\arcsin x$, получаем: $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$.

6. Переносим $\arcsin x$ в левую часть и получаем доказываемое тождество:
$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.

Способ 2: С помощью производной

1. Введем функцию $f(x) = \arcsin x + \arccos x$, которая определена на отрезке $[-1, 1]$.

2. Найдем ее производную на интервале $(-1, 1)$:
$f'(x) = (\arcsin x)' + (\arccos x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$.

3. Поскольку производная функции $f(x)$ равна нулю для любого $x \in (-1, 1)$, функция $f(x)$ является постоянной на этом интервале, то есть $f(x) = C$.

4. Для нахождения константы $C$ вычислим значение функции в любой точке интервала, например, при $x = 0$:
$C = f(0) = \arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

5. Таким образом, мы установили, что $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ для всех $x \in (-1, 1)$.

6. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[-1, 1]$, равенство сохраняется и на его концах. Проверим это прямой подстановкой:
При $x = 1$: $\arcsin 1 + \arccos 1 = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
При $x = -1$: $\arcsin(-1) + \arccos(-1) = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, тождество верно для всех $x \in [-1, 1]$.

Ответ: тождество $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ доказано.