Номер 104, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Обратные тригонометрические функции. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 104, страница 42.
№104 (с. 42)
Условие. №104 (с. 42)
скриншот условия

104. Доказать, что $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $.
Решение 1. №104 (с. 42)

Решение 2. №104 (с. 42)

Решение 3. №104 (с. 42)
Для доказательства тождества $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ необходимо показать, что оно выполняется для всех $x$ из общей области определения функций $\arcsin x$ и $\arccos x$, то есть для $x \in [-1, 1]$. Рассмотрим два способа доказательства.
Способ 1: Тригонометрический
1. Обозначим $\alpha = \arcsin x$. Согласно определению арксинуса, это значит, что $\sin \alpha = x$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.
2. Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Подставив в нее $\sin \alpha = x$, получаем $x = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
3. Чтобы данное равенство означало, что $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, необходимо убедиться, что угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в области значений арккосинуса, то есть в отрезке $[0, \pi]$.
Исходя из неравенства $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, выполним преобразования:
умножим на -1: $\frac{\pi}{2} \ge -\alpha \ge -\frac{\pi}{2}$;
прибавим $\frac{\pi}{2}$: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \ge \frac{\pi}{2} - \alpha \ge \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$;
получаем: $\pi \ge \frac{\pi}{2} - \alpha \ge 0$.
Условие выполняется, так как $(\frac{\pi}{2} - \alpha) \in [0, \pi]$.
4. Из равенства $x = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ и условия $(\frac{\pi}{2} - \alpha) \in [0, \pi]$ по определению арккосинуса следует, что $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
5. Заменив $\alpha$ обратно на $\arcsin x$, получаем: $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$.
6. Переносим $\arcsin x$ в левую часть и получаем доказываемое тождество:
$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.
Способ 2: С помощью производной
1. Введем функцию $f(x) = \arcsin x + \arccos x$, которая определена на отрезке $[-1, 1]$.
2. Найдем ее производную на интервале $(-1, 1)$:
$f'(x) = (\arcsin x)' + (\arccos x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$.
3. Поскольку производная функции $f(x)$ равна нулю для любого $x \in (-1, 1)$, функция $f(x)$ является постоянной на этом интервале, то есть $f(x) = C$.
4. Для нахождения константы $C$ вычислим значение функции в любой точке интервала, например, при $x = 0$:
$C = f(0) = \arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
5. Таким образом, мы установили, что $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ для всех $x \in (-1, 1)$.
6. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[-1, 1]$, равенство сохраняется и на его концах. Проверим это прямой подстановкой:
При $x = 1$: $\arcsin 1 + \arccos 1 = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
При $x = -1$: $\arcsin(-1) + \arccos(-1) = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, тождество верно для всех $x \in [-1, 1]$.
Ответ: тождество $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 104 расположенного на странице 42 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №104 (с. 42), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.