Номер 121, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 121, страница 43.

Условие.

121. Расположить в порядке убывания числа:

1) $\text{tg } \frac{15\pi}{14}$, $\text{tg } \frac{\pi}{3}$, $\text{tg } \left(-\frac{6\pi}{7}\right)$;

2) $\text{tg } 3$, $\text{tg } 1,8$, $\text{tg } 2$, $\text{tg } 4,5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для того чтобы расположить числа $tg\frac{15\pi}{14}$, $tg\frac{\pi}{3}$, $tg(-\frac{6\pi}{7})$ в порядке убывания, преобразуем их и сравним.

Сначала преобразуем каждое выражение, используя свойства функции тангенса:

• $tg\frac{15\pi}{14} = tg(\pi + \frac{\pi}{14}) = tg\frac{\pi}{14}$. Угол $\frac{\pi}{14}$ находится в первой четверти, значит $tg\frac{\pi}{14} > 0$.
• $tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Это известное положительное значение.
• $tg(-\frac{6\pi}{7}) = -tg\frac{6\pi}{7} = -tg(\pi - \frac{\pi}{7}) = -(-tg\frac{\pi}{7}) = tg\frac{\pi}{7}$. Угол $\frac{\pi}{7}$ находится в первой четверти, значит $tg\frac{\pi}{7} > 0$.

Теперь необходимо сравнить положительные значения: $tg\frac{\pi}{14}$, $tg\frac{\pi}{3}$ и $tg\frac{\pi}{7}$. Функция $y=tg(x)$ возрастает на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Сравним аргументы:
$\frac{\pi}{14} < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, значения тангенсов располагаются в том же порядке:
$tg\frac{\pi}{14} < tg\frac{\pi}{7} < tg\frac{\pi}{3}$.

Подставляя исходные выражения, получаем:
$tg\frac{15\pi}{14} < tg(-\frac{6\pi}{7}) < tg\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему) числа располагаются так: $tg\frac{\pi}{3}$, $tg(-\frac{6\pi}{7})$, $tg\frac{15\pi}{14}$.

Ответ: $tg\frac{\pi}{3}, tg(-\frac{6\pi}{7}), tg\frac{15\pi}{14}$.

2) Для того чтобы расположить числа $tg 3$, $tg 1.8$, $tg 2$, $tg 4.5$ в порядке убывания, определим четверти, в которых лежат углы, и знаки их тангенсов. Используем приближения: $\pi \approx 3,14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

• $\frac{\pi}{2} < 1.8 < \pi \implies$ угол 1.8 рад во II четверти, $tg 1.8 < 0$.
• $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi \implies$ угол 2 рад во II четверти, $tg 2 < 0$.
• $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi \implies$ угол 3 рад во II четверти, $tg 3 < 0$.
• $\pi < 4.5 < \frac{3\pi}{2} \implies$ угол 4.5 рад в III четверти, $tg 4.5 > 0$.

Единственное положительное значение — это $tg 4.5$, следовательно, оно является наибольшим.

Теперь сравним отрицательные значения: $tg 1.8$, $tg 2$ и $tg 3$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ функция $y=tg(x)$ возрастает. Аргументы $1.8, 2, 3$ принадлежат этому интервалу, и $1.8 < 2 < 3$.
Поэтому $tg 1.8 < tg 2 < tg 3$.

Собирая все вместе, получаем порядок возрастания: $tg 1.8 < tg 2 < tg 3 < tg 4.5$.

Таким образом, в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему) числа располагаются так: $tg 4,5$, $tg 3$, $tg 2$, $tg 1,8$.

Ответ: $tg 4,5, tg 3, tg 2, tg 1,8$.