Номер 127, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 127, страница 44.

Условие.

127. Найти нули функции:

1) $y = \cos^2 x - \cos x$;

2) $y = \cos x - \cos 2x - \sin 3x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Приравниваем функцию к нулю:

$y = \cos^2 x - \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1. $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - 1 = 0$, то есть $\cos x = 1$, откуда $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Приравниваем функцию к нулю:

$y = \cos x - \cos 2x - \sin 3x = 0$

Для решения преобразуем уравнение. Воспользуемся формулой разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}$ для первых двух слагаемых и формулой синуса двойного угла для $\sin 3x$, представив его как $\sin(2 \cdot \frac{3x}{2})$:

$(\cos x - \cos 2x) - \sin 3x = 0$

$2\sin\frac{x+2x}{2}\sin\frac{2x-x}{2} - 2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2} = 0$

$2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2} - 2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin\frac{3x}{2}$ за скобки:

$2\sin\frac{3x}{2} \left( \sin\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} \right) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\sin\frac{3x}{2} = 0$
$\frac{3x}{2} = \pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow \sin\frac{x}{2} = \cos\frac{3x}{2}$.
Используя формулу приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, получаем:
$\sin\frac{x}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2})$.
Равенство синусов выполняется в двух случаях:
а) Аргументы равны (с точностью до периода $2\pi$):
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} + 2\pi n$
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
б) Сумма аргументов равна $\pi$ (с точностью до периода $2\pi$), то есть $\alpha = \pi - \beta + 2\pi m$:
$\frac{x}{2} = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}\right) + 2\pi m$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{3x}{2} + 2\pi m$
$-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi}{2} - 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.