Номер 130, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 130, страница 44.

Условие.

130. Построить график функции:

1) $y = 2\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) - 2;$

2) $y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x};$

3) $y = \cos |x|;$

4) $y = -\sin x;$

5) $y = \sin x + |\sin x|;$

6) $y = 2^{\sin x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2$

Построение графика этой функции можно выполнить с помощью последовательных преобразований графика основной функции $y=\sin x$.

1. Базовый график: Начнем с графика функции $y=\sin x$. Это синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.

2. Горизонтальное растяжение: Заменим $x$ на $\frac{x}{2}$. Функция примет вид $y=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$. Это приведет к растяжению графика вдоль оси OX в 2 раза. Период функции увеличится в 2 раза и станет $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг): Преобразуем аргумент синуса: $\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$. График функции $y=\sin\left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\right)$ получается из графика $y=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ сдвигом влево по оси OX на $\frac{2\pi}{3}$.

4. Вертикальное растяжение: Умножим функцию на 2: $y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$. Это растянет график вдоль оси OY в 2 раза. Амплитуда колебаний станет равной 2. Значения функции будут находиться в отрезке $[-2, 2]$.

5. Вертикальный сдвиг: Вычтем 2 из функции: $y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2$. Это сдвинет график вниз по оси OY на 2 единицы. Область значений функции сместится и станет $[-2-2, 2-2]$, то есть $[-4, 0]$.

Таким образом, мы строим синусоиду, которая колеблется относительно линии $y=-2$ с амплитудой 2, имеет период $4\pi$ и сдвинута влево на $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции — это синусоида с периодом $4\pi$, амплитудой 2, сдвинутая по горизонтали влево на $\frac{2\pi}{3}$ и по вертикали вниз на 2. Область значений функции: $E(y) = [-4, 0]$.

---

2) $y=\cos x - \sqrt{\cos^2 x}$

Сначала упростим выражение. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, $\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$.

Тогда функция принимает вид: $y = \cos x - |\cos x|$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\cos x \ge 0$. Это происходит при $x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция становится: $y = \cos x - \cos x = 0$.

2. Если $\cos x < 0$. Это происходит при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция становится: $y = \cos x - (-\cos x) = 2\cos x$.

Таким образом, график функции состоит из двух чередующихся частей:

• отрезков прямой $y=0$ на интервалах, где косинус неотрицателен;
• частей графика $y=2\cos x$ (с амплитудой 2) на интервалах, где косинус отрицателен.

Функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции совпадает с осью OX на участках, где $\cos x \ge 0$, и представляет собой график функции $y = 2\cos x$ на участках, где $\cos x < 0$.

---

3) $y=\cos|x|$

Функция $f(x) = \cos x$ является четной. По определению четной функции, $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Для косинуса это означает, что $\cos(-x) = \cos x$.

Рассмотрим функцию $y=\cos|x|$:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y=\cos x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y=\cos(-x)$. Так как косинус — четная функция, $\cos(-x) = \cos x$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ значение функции $y=\cos|x|$ совпадает со значением функции $y=\cos x$.

Общее правило для построения графика $y=f(|x|)$: часть графика $y=f(x)$ для $x \ge 0$ остается без изменений, а затем эта часть симметрично отражается относительно оси OY на отрицательную полуось. Поскольку график $y=\cos x$ уже симметричен относительно оси OY, это преобразование не меняет его.

Ответ: График функции $y=\cos|x|$ полностью совпадает с графиком функции $y=\cos x$.

---

4) $y=-\sin x$

График функции $y=-\sin x$ получается из графика функции $y=\sin x$ путем преобразования.

Знак "минус" перед функцией $f(x)$ означает, что график функции $y=-f(x)$ является симметричным отражением графика $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (оси OX).

Для построения графика $y=-\sin x$:

1. Строим базовый график $y=\sin x$.

2. Отражаем его симметрично относительно оси OX.

• Точки, где $\sin x > 0$ (например, на интервале $(0, \pi)$), окажутся под осью OX. Максимум в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перейдет в минимум в точке $(\frac{\pi}{2}, -1)$.
• Точки, где $\sin x < 0$ (например, на интервале $(\pi, 2\pi)$), окажутся над осью OX. Минимум в точке $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ перейдет в максимум в точке $(\frac{3\pi}{2}, 1)$.
• Точки, где $\sin x = 0$ (нули функции, $x=\pi k, k \in \mathbb{Z}$), останутся на месте.

Ответ: График функции $y=-\sin x$ получается из графика $y=\sin x$ путем его симметричного отражения относительно оси OX.

---

5) $y=\sin x + |\sin x|$

Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Если $\sin x \ge 0$. Это происходит при $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция становится: $y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

2. Если $\sin x < 0$. Это происходит при $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция становится: $y = \sin x + (-\sin x) = 0$.

Таким образом, график функции состоит из следующих частей:

• Верхние "арки" графика $y=2\sin x$ (синусоида с амплитудой 2) на интервалах, где синус неотрицателен. Максимальное значение равно 2.
• Отрезки прямой $y=0$ на интервалах, где синус отрицателен.

Функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции состоит из "арок" графика $y = 2\sin x$ на промежутках, где $\sin x \ge 0$, и отрезков прямой $y=0$ на промежутках, где $\sin x < 0$.

---

6) $y=2^{\sin x}$

Это сложная функция, являющаяся композицией двух функций: внутренняя $u(x) = \sin x$ и внешняя $g(u) = 2^u$.

1. Анализ внутренней функции $u = \sin x$: Это стандартная синусоида. Ее область значений — отрезок $E(\sin x) = [-1, 1]$. Период функции равен $2\pi$.

2. Анализ внешней функции $y=2^u$: Это показательная функция с основанием 2. Она монотонно возрастает на всей своей области определения и всегда положительна.

3. Построение графика композиции:

• Периодичность: Так как $\sin x$ имеет период $2\pi$, вся функция $y=2^{\sin x}$ также будет периодической с периодом $2\pi$.
• Область значений: Чтобы найти область значений $y$, нужно подставить в $y=2^u$ минимальное и максимальное значения $u = \sin x$.
  - Минимальное значение: $y_{min} = 2^{\min(\sin x)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Это достигается, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  - Максимальное значение: $y_{max} = 2^{\max(\sin x)} = 2^{1} = 2$. Это достигается, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  Таким образом, область значений функции $E(y) = [\frac{1}{2}, 2]$.
• Ключевые точки: Когда $\sin x = 0$ (в точках $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$), значение функции равно $y = 2^0 = 1$.

График представляет собой волну, колеблющуюся между $\frac{1}{2}$ и 2. В отличие от синусоиды, эта кривая несимметрична относительно своей средней линии: она более "круто" поднимается к максимуму и более "поло́го" опускается к минимуму.

Ответ: График функции является периодической кривой с периодом $2\pi$. Он колеблется между минимальным значением $y=\frac{1}{2}$ (в точках $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k$) и максимальным значением $y=2$ (в точках $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$). График проходит через точки $(\pi k, 1)$.