Номер 2, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 1. Тригонометрические функции. Проверь себя! - номер 2, страница 46.

Условие.

2. Построить график функции $y = \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right)$ и найти значения $x$, при которых функция принимает положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построить график функции $y = \sin(\frac{\pi}{3} - x)$

Для построения графика функции $y = \sin(\frac{\pi}{3} - x)$ мы преобразуем ее к более удобному для анализа виду и затем применим последовательные геометрические преобразования к базовому графику функции $y = \sin(x)$.

1. Упрощение выражения. Используя свойство нечетности синуса, которое гласит, что $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, мы можем переписать исходную функцию: $y = \sin(\frac{\pi}{3} - x) = \sin(-(x - \frac{\pi}{3})) = -\sin(x - \frac{\pi}{3})$.

2. Геометрические преобразования. Теперь видно, что график нашей функции можно получить из графика $y = \sin(x)$ в два шага:
- Сначала мы строим график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Это график $y = \sin(x)$, сдвинутый вдоль оси абсцисс (Ox) вправо на величину $\frac{\pi}{3}$.
- Затем мы строим график $y = -\sin(x - \frac{\pi}{3})$. Это результат симметричного отражения предыдущего графика $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ относительно оси абсцисс (Ox).

Для более точного построения найдем ключевые точки графика.
Нули функции (пересечения с осью Ox) находятся из условия $y=0$:
$-\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{3} = k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума (где $y=1$) находятся из условия $-\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$, или $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1$:
$x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума (где $y=-1$) находятся из условия $-\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1$, или $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$:
$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \sin(\frac{\pi}{3} - x)$ — это стандартная синусоида $y=\sin(x)$, которая сначала сдвигается вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$, а затем симметрично отражается относительно оси Ox.

Найти значения x, при которых функция принимает положительные значения

Для нахождения всех значений $x$, при которых $y > 0$, необходимо решить тригонометрическое неравенство: $\sin(\frac{\pi}{3} - x) > 0$.

Известно, что функция $\sin(t)$ принимает положительные значения, когда ее аргумент $t$ находится в интервалах $(0, \pi)$, с учетом периодичности. Таким образом, общее решение для аргумента $t$ имеет вид: $2\pi k < t < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $t = \frac{\pi}{3} - x$. Подставим его в неравенство: $2\pi k < \frac{\pi}{3} - x < \pi + 2\pi k$.

Теперь решим это двойное неравенство относительно $x$.
1. Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех трех частей неравенства:
$2\pi k - \frac{\pi}{3} < -x < \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$2\pi k - \frac{\pi}{3} < -x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

2. Умножим все части неравенства на -1. При этом знаки неравенства меняются на противоположные:
$-(2\pi k - \frac{\pi}{3}) > x > -(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$
$\frac{\pi}{3} - 2\pi k > x > -\frac{2\pi}{3} - 2\pi k$.

Для удобства записи, расположим части неравенства в порядке возрастания: $-\frac{2\pi}{3} - 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} - 2\pi k$.
Так как $k$ — любое целое число, то $-k$ также пробегает все целые числа. Мы можем заменить $-k$ на $n$ ($n \in \mathbb{Z}$), чтобы получить более стандартную форму записи ответа: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x \in (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.