Номер 134, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 1. Предел последовательности - номер 134, страница 58.

Условие.

134. Изобразить на числовой прямой несколько членов последовательности ${$x_n$}$ и выяснить, к какому числу они приближаются:

1) $x_n = \frac{1}{n}$;

2) $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$;

3) $x_n = \frac{n+1}{n}$;

4) $x_n = \frac{n-2}{n}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для последовательности $x_n = \frac{1}{n}$ найдем несколько первых членов: $x_1 = \frac{1}{1} = 1$; $x_2 = \frac{1}{2} = 0.5$; $x_3 = \frac{1}{3}$; $x_4 = \frac{1}{4} = 0.25$; $x_5 = \frac{1}{5} = 0.2$. На числовой прямой все члены последовательности находятся в интервале $(0, 1]$ и с увеличением номера $n$ они становятся все ближе к нулю, приближаясь к нему справа. Чтобы выяснить, к какому числу они приближаются, найдем предел последовательности при $n \to \infty$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
Таким образом, члены последовательности приближаются к числу 0.
Ответ: 0.

2) Для последовательности $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$ найдем несколько первых членов: $x_1 = \frac{(-1)^1}{1} = -1$; $x_2 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2}$; $x_3 = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3}$; $x_4 = \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4}$; $x_5 = \frac{(-1)^5}{5} = -\frac{1}{5}$. На числовой прямой члены этой последовательности располагаются поочередно то слева, то справа от нуля. С ростом $n$ абсолютное значение членов $|x_n| = \frac{1}{n}$ уменьшается, и точки становятся все ближе к нулю. Найдем предел последовательности.
Поскольку $\lim_{n \to \infty} |x_n| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, то и предел самой последовательности равен нулю: $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.
Таким образом, члены последовательности приближаются к числу 0.
Ответ: 0.

3) Для последовательности $x_n = \frac{n+1}{n}$ найдем несколько первых членов: $x_1 = \frac{1+1}{1} = 2$; $x_2 = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$; $x_3 = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$; $x_4 = \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$. На числовой прямой все члены последовательности больше 1 и с ростом $n$ они убывают, приближаясь к 1 справа. Чтобы найти число, к которому они стремятся, преобразуем формулу и найдем предел.
$x_n = \frac{n+1}{n} = \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1 + 0 = 1$.
Таким образом, члены последовательности приближаются к числу 1.
Ответ: 1.

4) Для последовательности $x_n = \frac{n-2}{n}$ найдем несколько первых членов: $x_1 = \frac{1-2}{1} = -1$; $x_2 = \frac{2-2}{2} = 0$; $x_3 = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}$; $x_4 = \frac{4-2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$; $x_5 = \frac{5-2}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$. На числовой прямой $x_1=-1$, $x_2=0$, а все последующие члены находятся в интервале $(0, 1)$. С ростом $n$ (при $n>2$) члены последовательности возрастают, приближаясь к 1 слева. Найдем предел последовательности.
$x_n = \frac{n-2}{n} = \frac{n}{n} - \frac{2}{n} = 1 - \frac{2}{n}$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{n}) = 1 - 0 = 1$.
Таким образом, члены последовательности приближаются к числу 1.
Ответ: 1.