Номер 3, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 3, страница 45.

Условие.

3. Найти все значения x из промежутка $ \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right] $, для которых выполняется неравенство $ \cos x < -\frac{1}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$ из промежутка $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$, для которых выполняется тригонометрическое неравенство $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Для решения этого неравенства, сначала найдём значения $x$, для которых $\cos x = -\frac{1}{2}$. Используя единичную тригонометрическую окружность, мы знаем, что косинус угла равен абсциссе (координате $x$) соответствующей точки на окружности. Значение косинуса равно $-\frac{1}{2}$ в двух точках на окружности.

Углы, соответствующие этим точкам, можно найти с помощью функции арккосинуса. Общее решение уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ дается формулой: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Вычислим $\arccos(-\frac{1}{2})$: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. На промежутке от $0$ до $2\pi$ это углы $x_1 = \frac{2\pi}{3}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Теперь вернемся к неравенству $\cos x < -\frac{1}{2}$. Нам нужно найти такие углы $x$, для которых абсцисса точки на единичной окружности меньше $-\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге окружности, которая лежит левее вертикальной прямой $x = -\frac{1}{2}$.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что это условие выполняется для углов, которые строго больше $\frac{2\pi}{3}$ и строго меньше $\frac{4\pi}{3}$. Таким образом, общее решение неравенства $\cos x < -\frac{1}{2}$ имеет вид: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На последнем шаге нам необходимо выбрать из этих решений те, которые попадают в заданный промежуток $x \in [\frac{\pi}{2}; 2\pi]$. Рассмотрим интервал, полученный при $n=0$: $x \in (\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$.

Проверим, принадлежит ли этот интервал промежутку $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$. Сравним границы:

• $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$ и $\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$. Так как $\frac{3\pi}{6} < \frac{4\pi}{6}$, то $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3}$.
• $\frac{4\pi}{3}$ и $2\pi = \frac{6\pi}{3}$. Так как $\frac{4\pi}{3} < \frac{6\pi}{3}$, то $\frac{4\pi}{3} < 2\pi$.

Поскольку весь интервал $(\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$ находится внутри промежутка $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$, он является решением.

Если мы возьмем другие значения $n$ (например, $n=1$ или $n=-1$), соответствующие интервалы решений $(\frac{8\pi}{3}; \frac{10\pi}{3})$ или $(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{2\pi}{3})$ не будут пересекаться с промежутком $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$.

Следовательно, искомые значения $x$ образуют интервал $(\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$