Номер 7, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе I. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 7, страница 45.

Условие.

7. При каких значениях $x$ каждая из функций

$y = \operatorname{tg}x, y = \operatorname{ctg}x$

принимает положительные значения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых каждая из функций $y=\text{tg } x$ и $y=\text{ctg } x$ принимает положительные значения, необходимо решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \text{tg } x > 0 \\ \text{ctg } x > 0\end{cases}$$

Заметим, что функции тангенса и котангенса связаны соотношением $\text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x}$. Из этого следует, что знаки этих функций совпадают для всех $x$, при которых они обе определены. Следовательно, задача сводится к решению одного неравенства, например, $\text{tg } x > 0$.

Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу: $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Это отношение положительно в двух случаях:

1. Когда и числитель, и знаменатель положительны: $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$. На тригонометрической окружности это соответствует I координатной четверти. Углы $x$ в этом случае лежат в интервале $(2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Когда и числитель, и знаменатель отрицательны: $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$. На тригонометрической окружности это соответствует III координатной четверти. Углы $x$ в этом случае лежат в интервале $(\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функции $y = \text{tg } x$ и $y = \text{ctg } x$ имеют период $\pi$. Поэтому можно объединить найденные интервалы. Интервалы, где обе функции положительны, повторяются через каждый промежуток длиной $\pi$.

Таким образом, общее решение можно записать в виде одного интервала с учетом периодичности:

$\pi n < x < \pi n + \frac{\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi n < x < \pi n + \frac{\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.