Номер 139, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 1. Предел последовательности - номер 139, страница 58.

Условие.

139. 1) $x_n = \sqrt[3]{\frac{n^2 + 2n + 3}{4n^2 - n + 2}}$;

2) $x_n = \frac{\sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 1}}{n}$;

3) $x_n = \sqrt{3n^2 + 4n + 1} - \sqrt{3n^2 - 2n + 5}$;

4) $x_n = \sqrt[3]{n^3 + 2n} - n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения предела последовательности $x_n = \sqrt[3]{\frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2}}$ при $n \to \infty$, воспользуемся свойством непрерывности степенной функции. Это позволяет нам внести знак предела под корень:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2}} = \sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2}}$

Теперь найдем предел дроби под корнем. Для этого разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}+\frac{3}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{4-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$

Поскольку при $n \to \infty$ слагаемые $\frac{2}{n}$, $\frac{3}{n^2}$, $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{1+0+0}{4-0+0} = \frac{1}{4}$

Подставим найденное значение предела обратно под знак кубического корня:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

2) Рассмотрим предел последовательности $x_n = \frac{\sqrt[3]{8n^3+2n^2+1}}{n}$. Для его вычисления разделим числитель и знаменатель на $n$. Чтобы разделить корень третьей степени на $n$, внесем $n$ под знак корня как $n^3$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{8n^3+2n^2+1}}{n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{8n^3+2n^2+1}{n^3}}$

Разделим каждый член многочлена в числителе на $n^3$:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{8n^3}{n^3}+\frac{2n^2}{n^3}+\frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{8+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}}$

При $n \to \infty$, слагаемые $\frac{2}{n}$ и $\frac{1}{n^3}$ стремятся к нулю. Предел выражения под корнем равен:

$\lim_{n \to \infty} (8+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}) = 8+0+0 = 8$

Следовательно, искомый предел равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt[3]{8} = 2$

Ответ: $2$

3) Нам нужно найти предел последовательности $x_n = \sqrt{3n^2+4n+1} - \sqrt{3n^2-2n+5}$. При $n \to \infty$ мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы ее раскрыть, домножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $\sqrt{3n^2+4n+1} + \sqrt{3n^2-2n+5}$:

$x_n = \frac{(\sqrt{3n^2+4n+1} - \sqrt{3n^2-2n+5})(\sqrt{3n^2+4n+1} + \sqrt{3n^2-2n+5})}{\sqrt{3n^2+4n+1} + \sqrt{3n^2-2n+5}}$

В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(3n^2+4n+1) - (3n^2-2n+5) = 3n^2+4n+1 - 3n^2+2n-5 = 6n-4$

Таким образом, выражение для $x_n$ принимает вид:

$x_n = \frac{6n-4}{\sqrt{3n^2+4n+1} + \sqrt{3n^2-2n+5}}$

Теперь найдем предел этого выражения при $n \to \infty$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, то есть на $n$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6n-4}{n}}{\frac{\sqrt{3n^2+4n+1} + \sqrt{3n^2-2n+5}}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{6-\frac{4}{n}}{\sqrt{\frac{3n^2+4n+1}{n^2}} + \sqrt{\frac{3n^2-2n+5}{n^2}}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{6-\frac{4}{n}}{\sqrt{3+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}} + \sqrt{3-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}}$

При $n \to \infty$, все слагаемые, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю:

$\frac{6-0}{\sqrt{3+0+0} + \sqrt{3-0+0}} = \frac{6}{\sqrt{3}+\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

4) Исходное выражение $x_n = \sqrt[3]{n^3+2n-n}$ скорее всего содержит опечатку, так как оно упрощается до $x_n = \sqrt[3]{n^3+n}$ и его предел очевидно равен бесконечности. Более типичной для данного типа задач является форма $x_n = \sqrt[3]{n^3+2n} - n$. Будем решать задачу в этой постановке. При $n \to \infty$ мы имеем неопределенность вида $\infty - \infty$.

Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, откуда $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$. Положим $a = \sqrt[3]{n^3+2n}$ и $b=n$.

$x_n = \sqrt[3]{n^3+2n} - n = \frac{(\sqrt[3]{n^3+2n})^3 - n^3}{(\sqrt[3]{n^3+2n})^2 + n\sqrt[3]{n^3+2n} + n^2}$

Упростим числитель:

$(n^3+2n) - n^3 = 2n$

Теперь выражение для $x_n$ выглядит так:

$x_n = \frac{2n}{(\sqrt[3]{n^3+2n})^2 + n\sqrt[3]{n^3+2n} + n^2}$

Для нахождения предела при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$. В знаменателе старшая степень $n^2$ (т.к. $(\sqrt[3]{n^3})^2 = (n)^2 = n^2$ и $n\sqrt[3]{n^3} = n \cdot n = n^2$).

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n^2}}{\frac{(\sqrt[3]{n^3+2n})^2}{n^2} + \frac{n\sqrt[3]{n^3+2n}}{n^2} + \frac{n^2}{n^2}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n}}{(\sqrt[3]{\frac{n^3+2n}{n^3}})^2 + \frac{\sqrt[3]{n^3+2n}}{n} + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n}}{(\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}})^2 + \sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}} + 1}$

При $n \to \infty$ числитель $\frac{2}{n} \to 0$, а знаменатель стремится к:

$(\sqrt[3]{1+0})^2 + \sqrt[3]{1+0} + 1 = 1^2 + 1 + 1 = 3$

Таким образом, предел равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{0}{3} = 0$

Ответ: $0$