Номер 46, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Свойства функции y=cos x и её график. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 46, страница 21.

Условие.

46. Сколько решений имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} y = \cos \frac{x}{2}, \\ y = -x^2 + 6x - 8; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = \cos x, \\ y = \log_{7} x? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для определения количества решений системы уравнений найдем число точек пересечения графиков функций $y = \cos\frac{x}{2}$ и $y = -x^2 + 6x - 8$.

Проанализируем каждую функцию.

Функция $y = -x^2 + 6x - 8$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем ее вершину. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3$. Координата $y$ вершины: $y_v = -(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, 1)$, и максимальное значение этой функции равно 1. Для всех остальных $x \neq 3$ значение функции $y = -x^2 + 6x - 8$ строго меньше 1.

Функция $y = \cos\frac{x}{2}$ — это тригонометрическая функция, область значений которой — отрезок $[-1, 1]$. Ее максимальное значение также равно 1.

Поскольку максимальное значение обеих функций равно 1, их графики могут иметь общие точки только при условии $y \le 1$.

Рассмотрим, в каких точках достигается максимальное значение $y=1$.

• Для параболы $y = -x^2 + 6x - 8$ это происходит только в ее вершине, при $x = 3$.
• Для функции $y = \cos\frac{x}{2}$ значение 1 достигается, когда $\frac{x}{2} = 2\pi k$ для целого $k$, то есть $x = 4\pi k$.

Поскольку $x=3$ не может быть представлено в виде $4\pi k$ (так как $\pi$ иррационально), то точки максимума у графиков не совпадают. Следовательно, нет решений, где $y=1$.

Теперь выясним, могут ли графики пересекаться при $y < 1$. Пересечения возможны только в том случае, если значения параболы лежат в области значений косинуса, то есть $-1 \le -x^2 + 6x - 8 \le 1$. Решим неравенство $-x^2 + 6x - 8 \ge -1$, чтобы найти интервал, за пределами которого решений точно нет.

$-x^2 + 6x - 7 \ge 0$

$x^2 - 6x + 7 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 7 = 0$: $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

Следовательно, решения системы могут существовать только на отрезке $[3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}]$. Приблизительно это отрезок $[1.58, 4.42]$.

Рассмотрим поведение функций на этом интервале. Найдем точки пересечения, решая уравнение $\cos\frac{x}{2} = -x^2 + 6x - 8$. Введем вспомогательную функцию $h(x) = \cos\frac{x}{2} - (-x^2 + 6x - 8) = \cos\frac{x}{2} + x^2 - 6x + 8$. Количество решений системы равно количеству корней уравнения $h(x) = 0$.

Найдем значения $h(x)$ в некоторых характерных точках. Корни параболы $x=2$ и $x=4$ лежат внутри нашего интервала.

• При $x=2$: $h(2) = \cos\frac{2}{2} + 2^2 - 6(2) + 8 = \cos(1) + 4 - 12 + 8 = \cos(1)$. Поскольку $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, то $\cos(1) > 0$.
• При $x=3$: $h(3) = \cos\frac{3}{2} + 3^2 - 6(3) + 8 = \cos(1.5) + 9 - 18 + 8 = \cos(1.5) - 1$. Поскольку $\cos(1.5) < 1$, то $h(3) < 0$.

Так как функция $h(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[2, 3]$ принимает значения разных знаков ($h(2) > 0$, $h(3) < 0$), на интервале $(2, 3)$ существует как минимум один корень. Производная $h'(x) = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} + 2x - 6$. На интервале $(2, 3)$ имеем $2x-6 < 0$ и $\sin\frac{x}{2} > 0$, следовательно $h'(x) < 0$. Функция $h(x)$ монотонно убывает на этом интервале, значит корень единственный.

• При $x=4$: $h(4) = \cos\frac{4}{2} + 4^2 - 6(4) + 8 = \cos(2) + 16 - 24 + 8 = \cos(2)$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \frac{3\pi}{2}$, то $\cos(2) < 0$.
• При $x=3+\sqrt{2} \approx 4.42$: $h(3+\sqrt{2}) = \cos\frac{3+\sqrt{2}}{2} - (-(3+\sqrt{2})^2 + 6(3+\sqrt{2}) - 8)$. Мы знаем, что в этой точке парабола равна -1, поэтому $h(3+\sqrt{2}) = \cos\frac{3+\sqrt{2}}{2} - (-1) = 1 + \cos\frac{3+\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $\frac{3+\sqrt{2}}{2} \approx 2.21$ и $\cos(y) \ge -1$, то $1+\cos(y) \ge 0$. Равенство нулю возможно только если $y=\pi$, но $\frac{3+\sqrt{2}}{2} \neq \pi$. Значит, $h(3+\sqrt{2}) > 0$.

На отрезке $[4, 3+\sqrt{2}]$ функция $h(x)$ меняет знак с отрицательного ($h(4) < 0$) на положительный ($h(3+\sqrt{2}) > 0$), значит, на интервале $(4, 3+\sqrt{2})$ есть как минимум один корень. Производная $h'(x) = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} + 2x - 6$. На этом интервале $2x-6 > 2(4)-6=2$, а $|\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}| \le \frac{1}{2}$. Таким образом, $h'(x) > 2 - \frac{1}{2} = 1.5 > 0$. Функция $h(x)$ монотонно возрастает, значит корень единственный.

Итого, мы нашли два интервала, на каждом из которых есть ровно одно решение. Общее количество решений — 2.

Ответ: 2

2)

Для определения количества решений системы уравнений найдем число точек пересечения графиков функций $y = \cos x$ и $y = \log_7 x$.

Проанализируем каждую функцию.

• Функция $y = \cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, ее область значений — отрезок $[-1, 1]$.
• Функция $y = \log_7 x$ определена для $x > 0$. Это монотонно возрастающая функция.

Поскольку для любого решения системы должно выполняться $y = \cos x$, то значение $y$ должно лежать в отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, нас интересуют только те $x$, для которых $-1 \le \log_7 x \le 1$.

Решим это двойное неравенство:

$\log_7 (7^{-1}) \le \log_7 x \le \log_7 (7^1)$

Так как основание логарифма $7 > 1$, функция возрастающая, поэтому $\frac{1}{7} \le x \le 7$.

Таким образом, все возможные решения системы лежат в интервале $x \in [\frac{1}{7}, 7]$.

Рассмотрим поведение функций на этом отрезке, разбив его на части.

1. Интервал $[\frac{1}{7}, 1)$. Здесь $\log_7 x \le 0$ (причем равенство нулю только при $x=1$). В то же время, $x$ находится в интервале $[\frac{1}{7}, 1)$, что примерно равно $[0.14, 1)$. На этом интервале $\cos x > \cos(1) > 0$. Так как $\cos x$ положителен, а $\log_7 x$ не положителен, на этом интервале решений нет.
2. Интервал $[1, \frac{\pi}{2}]$. ($\frac{\pi}{2} \approx 1.57$).На этом отрезке $y = \cos x$ — убывающая функция (от $\cos(1) > 0$ до $0$).А $y = \log_7 x$ — возрастающая функция (от $0$ до $\log_7(\frac{\pi}{2}) > 0$).В точке $x=1$: $\cos(1) > 0$, а $\log_7(1) = 0$. Значит, $\cos x > \log_7 x$.В точке $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, а $\log_7(\frac{\pi}{2}) > 0$. Значит, $\cos x < \log_7 x$.Поскольку на отрезке $[1, \frac{\pi}{2}]$ одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, и их значения "меняются местами", они могут пересечься только один раз. Следовательно, здесь ровно одно решение.
3. Интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. ($\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$). На этом интервале $x > 1$, поэтому $\log_7 x > 0$. В то же время $\cos x \le 0$. Решений здесь нет.
4. Интервал $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$. ($2\pi \approx 6.28$).На этом отрезке обе функции, $y = \cos x$ и $y = \log_7 x$, возрастают.В точке $x=\frac{3\pi}{2}$: $\cos(\frac{3\pi}{2})=0$, а $\log_7(\frac{3\pi}{2}) > 0$. Значит, $\cos x < \log_7 x$.В точке $x=2\pi$: $\cos(2\pi)=1$, а $\log_7(2\pi) < \log_7(7) = 1$. Значит, $\cos x > \log_7 x$.Поскольку функции непрерывны и их значения "меняются местами", на интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ есть как минимум одно решение. Анализ производных показывает, что здесь ровно одно решение.
5. Интервал $(2\pi, 7]$.На этом отрезке $y = \cos x$ — убывающая функция.А $y = \log_7 x$ — возрастающая функция.В точке $x=2\pi$ мы уже видели, что $\cos x > \log_7 x$.В точке $x=7$: $\cos(7) = \cos(7 - 2\pi) \approx \cos(0.72) < 1$, а $\log_7(7) = 1$. Значит, $\cos x < \log_7 x$.Так как убывающая и возрастающая функции поменяли взаимное расположение, они пересекаются ровно один раз.

В итоге, мы нашли три интервала, на каждом из которых существует ровно одно решение: $(1, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ и $(2\pi, 7)$.

Ответ: 3